《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14分)中考新考法 类比猜想 (1)如图(1),在四边形 ABCD 中,$AB= AD$,$\angle B= \angle D= 90^{\circ}$,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$.请直接写出线段 EF,BE,FD 之间的数量关系:______.
(2)如图(2),在四边形 ABCD 中,$AB= AD$,$\angle B+\angle D= 180^{\circ}$,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$,(1)中的结论是否仍然成立? 请说明理由.
(3)在四边形 ABCD 中,$AB= AD$,$\angle B+\angle D= 180^{\circ}$,E,F 分别是边 BC,CD 所在直线上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$.请直接写出线段 EF,BE,FD 之间的数量关系:______.

答案：

(1)EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由如下:
如图
(2),延长EB到G,使BG=DF,连接AG.

∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG与△ADF中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ABG=∠D, \\ BG=DF, \end{cases}$
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠1=∠2.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠2+∠3+∠EAF=∠BAD,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF.
即∠GAE=∠EAF.又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+FD.
(3)EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD