《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14分)阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图(1),在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle ACB= \angle AED= 90^{\circ}$,$AC= AE$,$BC= DE$,连接CE交BD于点F.求证：$BF= DF$.
小明经探究发现,过点B作$\angle CBG= \angle EDF$,交CF于点G(如图(2)),从而可证$\triangle DEF\cong\triangle BCG$,使问题得到解决.
(1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程.
(2)参考小明思考问题的方法,解决下面的问题：
如图(3),在$\triangle ABC与\triangle BDE$中,$\angle ACB= \angle BED= 90^{\circ}$,$\angle ABC= \angle D$,$BC= DE$,$AB= BD$,CF,EG分别为AB,BD的中线,连接FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段？若存在,请找出并证明；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°.
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE.
∴∠DEF=∠BCG.在△BCG与△DEF中,{∠CBG=∠EDF,BC=DE,∠BCG=∠DEF,
∴△BCG≌△DEF(ASA).
∴BG=DF,∠BGC=∠DFE.
∴∠BGF=∠BFG.
∴BF=BG.
∴BF=DF.
(2)CH=EH.理由如下：如图,延长FH至点L,使HL=FG,连接LE,则HL+HG=FG+HG,即LG=FH.
∵∠ACB=∠BED=90°,CF,EG分别为AB,BD的中线,
∴CF=BF=$\frac{1}{2}$AB,EG=DG=$\frac{1}{2}$BD.
∴∠CBF=∠BCF,∠D=∠DEG.
∵∠ABC=∠D,
∴∠BFC=∠DGE.
∵AB=BD,
∴CF=EG,BF=BG.
∴∠BFG=∠BGF.
∵∠BGF=∠DGH,
∴∠BFG=∠DGH.
∴∠BFG-∠BFC=∠DGH-∠DGE,即∠CFH=∠EGL.在△CFH与△EGL中,{CF=EG,∠CFH=∠EGL,FH=GL,
∴△CFH≌△EGL(SAS).
∴CH=EL,∠ELH=∠CHF.
∵∠EHL=∠CHF,
∴∠ELH=∠EHL.
∴EH=EL.
∴CH=EH.