《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14 分)中考新考法 动点问题 如图,在△ABC 中,$\angle ACB= 90^\circ$,AB= 5,BC= 3,点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 A-C-B-A 运动.设点 P 的运动时间为 t 秒($t＞0$).
(1)求 AC 的长及斜边 AB 上的高.
(2)①当点 P 在 CB 上时,CP 的长为______；(用含 t 的代数式表示)
②若点 P 在∠BAC 的平分线上,则 t 的值为______.
(3)在整个运动中,直接写出△BCP 是等腰三角形时 t 的值.

答案：

(1)在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理，得 AC=4。设斜边 AB 上的高为 h，
∵$\frac{1}{2}AB·h=\frac{1}{2}AC·BC$，
∴5h=4×3，
∴h=2.4，
∴AC 的长为 4，斜边 AB 上的高为 2.4。
(2)①2t - 4②$\frac{8}{3}$ [解析]当点 P'在∠BAC 的平分线上时，过点 P'作 P'D⊥AB，如图
(1)。

∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D=P'C=2t - 4。
∵BC=3，
∴BP'=3 - (2t - 4)=7 - 2t。在 Rt△ACP'和 Rt△ADP'中，$\left\{\begin{array}{l} AP'=AP',\\ P'C=P'D,\end{array}\right. $
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'(HL)，
∴AD=AC=4。又 AB=5，
∴BD=1。在 Rt△BDP'中，由勾股定理，得 BD²+P'D²=BP'²，即 1²+(2t - 4)²=(7 - 2t)²，解得 t=$\frac{8}{3}$。
(3)由题意知，当△BCP 是等腰三角形时，点 P 必在线段 AC 或线段 AB 上。①当点 P 在线段 AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，
∴CP=BC=3，
∴AP=AC - CP=4 - 3=1，
∴2t=1，
∴t=0.5；②当点 P 在线段 AB 上时，若 BC=BP，则点 P 运动的长度为 AC+BC+BP=4+3+3=10，
∴2t=10，
∴t=5；若 PC=BC，如图
(2)，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则 BP=2BH。

由
(1)，得斜边 AB 上的高为 2.4，
∴CH=2.4。在 Rt△BCH 中，由勾股定理，得 BH=$\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$，
∴BP=3.6，
∴点 P 运动的长度为 AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，
∴2t=10.6，
∴t=5.3；若 PC=PB，如图
(3)，过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q，则 BQ=CQ=$\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。

∵PB=PC，
∴∠B=∠BCP。又∠B+∠A=90°，∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠A=∠ACP，
∴AP=CP=PB=$\frac{1}{2}AB=2.5$，
∴点 P 运动的长度为 AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，
∴2t=9.5，
∴t=4.75。综上所述，当△BCP 为等腰三角形时，t 的值为 0.5 或 4.75 或 5 或 5.3。