《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

21.(10分)(2024·镇江期末)我们知道,弹簧的总长度y(cm)是关于所挂重物x(kg)的一次函数,请根据如图所示的信息解决问题.
(1)求一次函数表达式；
(2)求弹簧不挂重物时的长度.

答案：
(1)设一次函数表达式为$y = kx + b$，由图可知函数图像过点$(10,15)$和$(15,17.5)$，代入得$\begin{cases}10k + b = 15 \\15k + b = 17.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 0.5 \\b = 10\end{cases}$，所以一次函数表达式为$y = 0.5x + 10$。
(2)当$x = 0$时，$y = 0.5×0 + 10 = 10$，即弹簧不挂重物时的长度为$10cm$。

22.(10分)传统文化 端午节吃粽子(2024·甘孜州中考)端午节是我国的传统节日,有吃粽子的习俗.节日前夕,某商场购进A,B两种粽子共200盒进行销售.经了解,进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
 

(1)设该商场购进A种粽子x盒,销售两种粽子所得的总利润为y元,求y关于x的函数表达式(不必写出自变量x的取值范围).
(2)若购进的200盒粽子销售完毕,总利润不低于3000元,请问至少需要购进A种粽子多少盒？

答案： 【解析】：
(1)设该商场购进A种粽子$x$盒，那么B种粽子就是$(200 - x)$盒。
A种粽子的利润是$(120 - 90)x = 30x$元，
B种粽子的利润是$(60 - 50)(200 - x) = 10(200 - x)$元。
所以，总利润$y$元可以表示为：$y = 30x + 10(200 - x)$，
化简得：$y = 30x + 2000 - 10x = 20x + 2000$。
即$y$关于$x$的函数表达式为$y=20x+2000$。
(2)要求总利润不低于3000元，即：$20x + 2000 \geq 3000$，
移项得：$20x \geq 1000$，
除以20得：$x \geq 50$。
所以，至少需要购进A种粽子50盒。
【答案】：
(1)$y=20x+2000$；
(2)50。

23.(10分)新情境 销售利润最大问题(2024·甘南州中考)某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣.已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元,购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元.
(1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元？
(2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,请问如何进货可以使该经销商获得最大利润？最大利润是多少元？

答案：
(1)设每个A型钥匙扣的进价为$x$元，每个B型钥匙扣的进价为$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}50x + 30y = 870 \\30x + 50y = 810\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 12 \\y = 9\end{cases}$
答：每个A型钥匙扣的进价为12元，每个B型钥匙扣的进价为9元。
(2)设购进A型钥匙扣$m$个，则购进B型钥匙扣$(100 - m)$个，利润为$W$元，根据题意得：
$12m + 9(100 - m) \leq 1000$
解得：$m \leq \frac{100}{3}$，即$m \leq 33$（$m$为正整数）。
$W=(20 - 12)m + (15 - 9)(100 - m)=2m + 600$
因为$2＞0$，所以$W$随$m$的增大而增大，当$m = 33$时，$W$最大，$W=2×33 + 600 = 666$，此时$100 - m = 67$。
答：购进A型钥匙扣33个，B型钥匙扣67个时，获得最大利润，最大利润为666元。