《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

14.(10分)(2025·陕西西安交大附中期中)如图,在△ABC中,∠A= 100°,D为AC边上一点,连接BD,BD= DC,过点D作BC的垂线,垂足为E.
(1)若∠ABD= 20°,求∠C的度数;
(2)若CE= 5,△BDC的周长为24,求BD的长.

答案：
(1)
∵BD = DC，
∴∠DBC = ∠C.
∵∠BDC = ∠ABD + ∠A = 120°，
∴∠DBC = ∠C = $\frac{180° - 120°}{2}$ = 30°.
(2)
∵BD = DC，DE⊥BC，
∴BC = 2CE = 10.
∵△BDC的周长为24，
∴BD + DC = 24 - 10 = 14，
∴BD = 7.

15.(12分)如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC= BF,点E是CF的中点.
(1)求证:DE⊥CF;
(2)求证:∠B= 2∠BCF.

答案：

(1)如图，连接DF.
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB = 90°.
∵点F是AB的中点，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = BF.
∵DC = BF，
∴DC = DF.
∵点E是CF的中点，
∴DE⊥CF.
(2)
∵DC = DF，
∴∠DFC = ∠DCF，
∴∠FDB = ∠DFC + ∠DCF = 2∠DCF.
∵DF = BF，
∴∠FDB = ∠B，
∴∠B = 2∠BCF.

16.(14分)分类讨论思想 若在锐角三角形ABC中,AB= AC,过其一个顶点可以画出一条直线把△ABC分成两个等腰三角形,求∠A 的度数.

答案：
当过顶角的直线把它分成了两个等腰三角形时，①如图
(1)，AB = AC，AD = CD = BD.设∠B = x°，则∠BAD = ∠B = x°，∠C = ∠B = x°，
∴∠CAD = ∠C = x°.
∵∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，
∴x + x + x + x = 180，解得x = 45，则顶角是90°(舍去)；②如图
(2)，AB = AC = CD，BD = AD.设∠C = y°，则∠B = ∠C = y°.
∵BD = AD，
∴∠BAD = ∠B = y°，
∴∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2y°.
∵AC = CD，
∴∠CAD = ∠ADC = 2y°，
∴∠BAC = 3y°，
∴y + y + 3y = 180，解得y = 36，则顶角是108°(舍去).当过底角的直线把它分成了两个等腰三角形时，③如图
(3)，AB = AC，BC = BD = AD.设∠A = z°，则∠ABD = ∠A = z°，
∴∠CDB = ∠ABD + ∠A = 2z°.
∵BC = BD，
∴∠C = ∠CDB = 2z°.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = 2z°.
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴z + 2z + 2z = 180，解得z = 36，则顶角是36°；④如图
(4)，AB = AC，AD = BD，BC = DC.设∠A = m°，则∠ABD = ∠A = m°，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2m°.
∵BC = CD，
∴∠CBD = ∠BDC = 2m°，
∵AB = AC，
∴∠C = ∠ABC = 3m°，
∴m + 3m + 3m = 180，解得m = $\frac{180}{7}$，则顶角是($\frac{180}{7}$)°.综上所述，∠A = 36°或($\frac{180}{7}$)°.