《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

23. (7分)如图,在长方形电子广告屏ABCD中,$AB= 8m,BC= 6m$.画面设计如下:动点P从点A出发沿长方形的边AB,BC以2m/s的速度向点C运动,逐渐展开主体广告画面.
(1)写出$△APD的面积S(m^{2})$关于点P的运动时间t(s)的函数表达式;
(2)画出上述函数的图象.

答案：

(1)当点 P 在边 AB 上运动时，此时 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 4，
∴S = 1/2AD·AP = 1/2×6×2t = 6t，
∴S = 6t。当点 P 在边 BC 上运动时，此时 t 的取值范围是 4 ＜ t ≤ 7，
∴S = 1/2AD·AB = 1/2×6×8 = 24，
∴S = 24。综上，S = {6t(0 ≤ t ≤ 4)，24(4 ＜ t ≤ 7)}。
(2)函数图象如图所示。

24. (8分)用两种方法证明"垂线段最短".
如图,点P在直线l外,$PA⊥l$,垂足为A,Q为直线l上不同于点A的任意一点.求证:$PA＜PQ$.
(1)小明的操作是:如图(1),延长PA至点B,使得$AB= PA$,连接BQ…请接着小明的操作完成证明;
(2)小芳发现还可以通过"勾股定理"来证明,请结合图(2)完成.

答案：
(1)延长 PA 至点 B，使得 AB = PA，连接 BQ。
∵PA⊥l，
∴AQ 是 PB 的垂直平分线，
∴PQ = BQ。在△PBQ 中，PQ + BQ ＞ PB，即 2PQ ＞ 2PA，
∴PA ＜ PQ。
(2)
∵PA⊥l，
∴△APQ 为直角三角形。根据勾股定理，得 PQ² = PA² + AQ²。
∵AQ ＞ 0，
∴PQ² = PA² + AQ² ＞ PA²，
∴PA ＜ PQ。