《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24. (12分)如图,△ABC为等边三角形,直线a//AB,D为直线BC上任一动点,将一60°角的顶点置于点D处,它的一边始终经过点A,另一边与直线a交于点E.
(1)若D恰好在BC的中点上(如图(1)),求证:△ADE是等边三角形.
(2)若D为直线BC上任一点(如图(2)),其他条件不变,上述(1)的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)
∵a//AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°,AB=AC.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵∠ADE=60°,
∴∠EDC=30°,
∴∠DOC=180°−∠EDC−∠ACB=90°,
∴∠DEC=∠DOC−∠ACE=30°,
∴∠EDC=∠DEC,
∴EC=CD=DB,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,且∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
(2)在AC上取点F,使CF=CD,连接DF.
∵∠ACB=60°,
∴△DCF是等边三角形，
∴CD=DF.
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°,
∴∠ADF=∠EDC.
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE,
∴∠DAF=∠DEC,
∴△ADF≌△EDC(AAS),
∴AD=ED.又∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.

25. (12分)(2025·无锡江阴期中)如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是边AB,AC上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证:MN⊥DE.
(2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明你的猜想.
(3)当∠BAC变为钝角时,如图(2),上述(1)(2)中的结论是否都成立?若成立,直接回答,不需证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)如图
(1),连接DM,ME.
∵CD,BE分别是边AB，AC上的高，M是BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME,又N为DE中点,
∴MN⊥DE.
(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BMD+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°−2∠A.
(3)结论
(1)成立，结论
(2)不成立.理由如下:如图
(2),连接DM,ME,在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°−∠BAC)=360°−2∠BAC,
∴∠DME=180°−(360°−2∠BAC)=2∠BAC−180°.