《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

15. (12分)如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a= 6,b= 8,c= 12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;
(2)求证:△ABC的内角和等于180°;
(3)若$\frac{a}{a-b+c}= \frac{\frac{1}{2}(a+b+c)}{c}$,求证:△ABC是直角三角形.

答案：
15.
(1)
∵在△ABC中，a=6,b=8,c=12,6²+8²＜12²,
∴∠A+∠B＜∠C.
(2)如图，过点B作MN//AC.

则∠MBA=∠A,∠NBC=∠C.又∠MBA+∠ABC+∠NBC=180°,
∴∠A+∠ABC+∠C=180°.故△ABC内角的和等于180°.
(3)
∵$\frac{a}{a - b + c}$=$\frac{\frac{1}{2}(a + b + c)}{c}$,
∴ac=$\frac{1}{2}$(a + b + c)(a - b + c)=$\frac{1}{2}$[(a²+2ac+c²)-b²],
∴2ac=a²+2ac+c² - b²,
∴a²+c²=b²,
∴△ABC是直角三角形.

16. (14分)中考新考法 动点问题 如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,且BD:AD:CD= 2:3:4.已知$S_{\triangle ABC}= 40\ cm^2$,如图,动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时,整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒).
(1)若△DMN的边与BC平行,求t的值;
(2)在点N运动的过程中,△ADN能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

答案：
16.
(1)
∵BD:AD:CD=2:3:4,
∴设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=BD+AD=2x+3x=5x.
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5x×4x=40 cm²,x＞0,
∴x=2 cm,
∴BD=4 cm,AD=6 cm,CD=8 cm,
∴AB=10 cm,AC=$\sqrt{CD²+AD²}$=$\sqrt{8²+6²}$=10(cm)
∴AB=AC,
∴∠ACB=∠B.当MN//BC时，∠ANM=∠ACB,∠AMN=∠B,
∴∠ANM=∠AMN,
∴AM=AN,即10 - t=t,
∴t=5；当DN//BC时，∠AND=∠ACB,∠ADN=∠B,
∴∠AND=∠ADN,
∴AN=AD=6 cm,
∴t=6÷1=6.综上所述，若△DMN的边与BC平行，t的值为5或6.
(2)△ADN能成为等腰三角形，分三种情况.理由如下:当AN=AD=6 cm时，t=6；当DN=AN时，∠ADN=∠A.
∵CD⊥AB,
∴∠CDN+∠ADN=90°,∠DCN+∠A=90°,
∴∠CDN=∠DCN,
∴CN=DN,
∴AN=CN=$\frac{1}{2}$AC=5 cm,
∴t=5；当ND=AD=6 cm时，如图，过点D作DG⊥AC于点G,则NG=AG=$\frac{1}{2}$AN.

∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DG=$\frac{1}{2}$AD·CD,
∴DG=$\frac{AD·CD}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$(cm),
∴AG²=AD² - DG²=6² - ($\frac{24}{5}$)²=$\frac{324}{25}$,
∴AG=$\frac{18}{5}$ cm,
∴AN=2AG=$\frac{36}{5}$ cm,
∴t=$\frac{36}{5}$.综上所述，△ADN能成为等腰三角形，t的值为5或6或$\frac{36}{5}$.