《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

14. (2025·南京联合体期中)在△ABC中,BC= a,AC= b,AB= c.如图(1),当∠C= 90°时$,a^2+b^2= c^2.$
(1)如图(2),当∠C＜90°时,小明猜想$a^2+b^2＞c^2,$理由如下：
过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD= x,…,完成小明的证明过程；
(2)如图(3),当∠C＞90°时,猜想$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系,并证明你的猜想.

答案：

(1)设CD=x。
∵AD²=b²−x²，AD²=c²−(a−x)²，则b²−x²=c²−(a−x)²，
∴a²+b²=c²+2ax。
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴a²+b²＞c²，
∴当△ABC为锐角三角形时，a²+b²＞c²。
(2)当△ABC为钝角三角形时，a²+b²与c²的大小关系为a²+b²＜c²。证明如下：
　　如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，设CD=x。
　　　　　　　　　
∵AD²=AC²−DC²=b²−x²，AD²=AB²−BD²=c²−(a+x)²，
∴b²−x²=c²−(a+x)²。
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴a²+b²=c²−2ax＜c²。
　　即当△ABC为钝角三角形时，a²+b²＜c²。

15. (2024·广东阳江二中期中)如图,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴,垂足为A,BC⊥y轴,垂足为C,已知A(a,0),C(0,c),其中a,c满足关系式$(a-6)^2+√(c+8)= 0,$点P从点O出发沿折线OA-AB-BC的方向运动到点C停止,运动的速度为每秒2个单位长度,设点P的运动时间为t秒.
(1)在运动过程中,当点P到AB的距离为2个单位长度时,t= ；
(2)在点P的运动过程中,用含t的代数式表示点P的坐标；
(3)当点P在线段AB上运动时,射线AO上一点E,射线OC上一点F(不与点C重合),连接PE,PF,使得∠EPF= 70°,求∠AEP与∠PFC的数量关系.

答案：

(1)2或8　　[解析]
∵a，c满足关系式(a−6)²+√(c + 8)=0，
∴a−6=0，c + 8=0，
　　　根据平方运算和算术平方根的非负性得到
∴a=6，c=−8，
∴B(6，−8)。
　　当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程为6−2=4或6+8+2=16，
∴t=4÷2=2或t=16÷2=8。
(2)①当0≤t＜3时，点P在OA上，此时P(2t，0)；
　　②当3≤t＜7时，点P在AB上，此时PA=2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P(6，6−2t)；③当7 ≤t≤10时，点P在BC上，此时PB=2t−OA−AB=2t−14，PC=BC−PB=6−(2t−14)=20−2t，则P(20−2t，−8)。
(3)当点P在线段AB上时，分四种情况：
　　①如图
(1)。
∵AB//OC，
∴∠PFC=180°−∠APF=180°−70°−∠APE=110°−∠APE。
　　又∠AEP=90°−∠APE，
∴∠PFC−∠AEP=110°−∠APE−(90°−∠APE)=20°；
②如图
(2)。
　　同理，∠AEP=90°−∠APE，∠PFC=180°−∠APF=180°−70°−∠APE=110°−∠APE，
∴∠PFC−∠AEP=110°−∠APE−(90°−∠APE)=20°；
　　③如图
(3)，连接OP。
∵∠PFC=∠FPO+∠FOP，∠AEP=∠EOP+∠EPO，
∴∠AEP+∠PFC=∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO=∠AOF+∠EPF=90°+70°=160°；
④如图
(4)。
∵∠AEP+∠EGO=90°，∠EGO=∠PGF=110°−∠PFG，
∴∠AEP+110°−∠PFG=90°，
∴∠AEP+110°−(180°−∠PFC)=90°，
∴∠AEP+∠PFC=160°。
　　综上所述，∠PFC+∠AEP=160°或∠PFC−∠AEP=20°。