《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24. (12分)(2025·常州期中)如图,△ABC是等边三角形,点D在△ABC外部,且DA= DC,连接BD,交AC于点G.
(1)求证:BD垂直平分AC;
(2)在BC上取点E,连接DE,交AC于点F.若EB= ED,试判断△CEF的形状,并说明理由.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC,
∴点B在线段AC的垂直平分线上,
∵DA=DC,
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是线段AC的垂直平分线，即BD垂直平分AC.
(2)△CEF是等边三角形.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD⊥AC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵EB=ED,
∴∠EDB=∠DBC=30°,
∴∠FEC=∠EDB+∠DBC=60°,又∠ACB=60°,
∴△CEF是等边三角形.

25. (12分)中考新考法 动点问题 如图,在四边形ABCD中,AB= BC= 8 cm,CD= 6 cm,∠B= ∠C,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,点Q运动的速度是每秒2 cm,点P运动的速度是每秒a cm(a≤2),当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t秒.
(1)BQ= 2tcm,BP= 8−atcm.(用含a或t的代数式表示)
(2)运动过程中,连接PQ,DQ,△BPQ与△CDQ能否全等?若能,请求出相应的t和a的值;若不能,说明理由.

△BPQ与△CDQ能全等
∵∠B=∠C,
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况:①当△PBQ≌△QCD时,PB=CQ,BQ=CD,
∴2t=6,8−at=8−2t,
∴a=2,t=3;②当△PBQ≌△DCQ时,PB=DC,BQ=CQ,
∴8−at=6,2t=8−2t,
∴a=1,t=2.综上所述,△BPQ与△CDQ能全等，此时a=2,t=3或a=1,t=2.

答案：
(1)2t　(8−at)
(2)△BPQ与△CDQ能全等
∵∠B=∠C,
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况:①当△PBQ≌△QCD时,PB=CQ,BQ=CD,
∴2t=6,8−at=8−2t,
∴a=2,t=3;②当△PBQ≌△DCQ时,PB=DC,BQ=CQ,
∴8−at=6,2t=8−2t,
∴a=1,t=2.综上所述,△BPQ与△CDQ能全等，此时a=2,t=3或a=1,t=2.