《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

21. (1) 在等腰直角三角形$ABC$中，$∠BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点$A$，$B$分别是$y$轴、$x$轴上两个动点，直角边$AC$交$x$轴于点$D$，斜边$BC$交$y$轴于点$E$。
① 如图①，已知点$C$的横坐标为$-2$，直接写出点$A$的坐标。
② 如图②，当等腰直角三角形$ABC$运动到使点$D$恰为$AC$中点时，连接$DE$，求证$∠ADB = ∠CDE$。
(2) 如图③，若点$A$在$x$轴上，且$A(-6,0)$，点$B$在$y$轴的正半轴上运动时，分别以$OB$，$AB$为直角边在第一象限、第二象限作等腰直角三角形$BOD$和等腰直角三角形$ABC$，连接$CD$交$y$轴于点$P$。当点$B$在$y$轴的正半轴上运动时，$BP$的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出$BP$的长度。

答案：
21.
(1)①如图①,过点C作CF⊥y轴,垂足为F.
　　　　　　　
∴∠CFA = 90°,∠ACF + ∠CAF = 90°.
∵∠CAB = 90°，
∴∠CAF + ∠BAO = 90°.
∴∠ACF = ∠BAO.
∴△ACF≌△BAO(AAS).
∴CF = OA = 2.
∴A(0,2).
　②如图②,过点C作CG⊥AC交y轴,垂足为G.
　　　　　　　
∴∠ACG = 90°,∠CAG + ∠AGC = 90°.
∵∠AOD = 90°，
∴∠ADO + ∠DAO = 90°.
∴∠AGC = ∠ADO.
∴△ACG≌△BAD(AAS).
∴CG = AD = CD.
∵∠ACB = 45°,∠ACG = 90°，
∴∠DCE = ∠GCE = 45°.
∴△DCE≌△GCE(SAS).
∴∠CDE = ∠CGE.
∴∠ADB = ∠CDE.
(2)BP的长度不变,理由如下:
　　　　　　　
∵∠ABC = 90°，
∴∠CBE + ∠ABO = 90°.
∵∠BAO + ∠ABO = 90°，
∴∠CBE = ∠BAO.
∵∠CEB = ∠AOB = 90°,AB = BC，
∴△CBE≌△BAO(AAS).
∴CE = BO,BE = AO = 6.
∵BD = BO，
∴CE = BD.
∵∠CEP = ∠DBP = 90°,∠CPE = ∠DPB，
∴△CPE≌△DPB(AAS).
∴BP = EP = 3.