《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$CD\perp AD$，垂足为$D$，$\angle DCB=\angle B$。若$AC = 10$，$AB = 25$，则$CD$的长为7.5。

答案： 1.7.5

2. 如图，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$E$为$BC$的中点，$EF// AD$交$BA$的延长线于点$F$，交$AC$于点$G$。
(1) 求证$AF = AG$。
(2) 求证$BF = CG$。
(3) 求$\frac{AB + AC}{CG}$的值。

答案：
2.
(1)如图①所示，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2.
∵AD//EF，
∴∠F=∠1，∠2=∠3.
∴∠F=∠3.
∴AF=AG.

(2)如图②所示，延长FE到H，使FE=EH.

在△BFE和△CHE中，
$\begin{cases} EF = EH, \\\angle FEB = \angle HEC, \therefore \triangle BFE \cong \triangle CHE. \\BE = CE, \end{cases}$
∴∠H=∠F，BF=CH.
又
∵∠F=∠3=∠4，
∴∠H=∠4.
∴HC=CG.
∴BF=CG.
(3)$\frac{AB + AC}{CG} = \frac{AB + AG + GC}{GC} = \frac{AB + AF + GC}{GC} =$
$\frac{BF + GC}{GC} = \frac{2GC}{GC} = 2$.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 100^{\circ}$，$CD$平分$\angle ACB$交$AB$于点$D$，$E$为$BC$上一点，$BE = DE$。求证$BC = CD + AD$。

答案：
3.提示：方法一(截长法)：如图，在CB上截取CF=AC，连接FD，

则△ACD≌△FCD，AD=FD，再证∠DEF=80°=∠DFE，
∴DF=DE.又易证CD=CE，
∴BC=CE+BE=CD+AD.
方法二(作垂线)：过点D分别作DM⊥BC，垂足为M，DN⊥AC交CA延长线于点N，证△DEM≌△DAN，
∴AD=DE=BE，再证CD=CE即可.

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 2\angle B$，$CD$平分$\angle ACB$交$AB$于点$D$。求证$AC + AD = BC$。

答案：
4.如图，在BC上截取CE=CA，连接DE.

∵∠ACB的平分线CD交AB边于点D，
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD与△ECD中，
$\begin{cases} CE = CA, \\\angle ACD = \angle ECD, \\CD = CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS).
∴AD=ED，∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B，
∴∠CED=2∠B.
∵∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB.
∴ED=EB.
∴AD=EB.
∴AC+AD=EC+EB=BC.