《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

9. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AC = 9$，点 $O$ 在 $AC$ 上，且 $AO = 3$，$P$ 是 $AB$ 上一动点，连接 $OP$，将线段 $OP$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$，得到线段 $OD$，要使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 上，则 $AP=$6.

答案： 9.6

10. 如图，在 $\triangle MPN$ 中，$\angle P = 60^{\circ}$，$MN = NP$，$MQ \perp PN$，垂足为 $Q$，延长 $MN$ 到 $G$，使得 $NG = NQ$. 若 $\triangle MNP$ 的周长为 $12$，$MQ = a$，求 $\triangle MGQ$ 的周长（用含 $a$ 的式子表示）.

答案： 10.6 + 2a.提示：MN = 4，NG = NQ = 2，GQ = QM = a.

11. 已知 $M$ 是等边三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上的点.
(1)如图①，过点 $M$ 作 $MN // AC$，且交边 $AB$ 于点 $N$. 求证 $BM = BN$.
(2)如图②，在图①的基础上连接 $AM$，作 $\angle AMH = 60^{\circ}$，$MH$ 与 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle ACD$ 的平分线交于点 $H$.
① 若 $\angle CAM = 45^{\circ}$，则 $\angle HMC =$15$^{\circ}$；
② 求证 $\triangle ANM \cong \triangle MCH$.

答案： 11.
(1)由题意得，∠C = ∠A = 60°.
∵MN//AC，
∴∠BMN = ∠C = 60°，∠BNM = ∠A = 60°，
∴∠BMN = ∠BNM = 60°.
∴BM = BN.
(2)①
∵∠BAC = 60°，∠CAM = 45°，
∴∠BAM = 15°.
∵∠AMH + ∠HMC = ∠AMC = ∠BAM + ∠B，
∴60° + ∠HMC = ∠AMC = 15° + 60°.
∴∠HMC = 15°.
②
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = BC.
∵BM = BN，
∴AN = MC.
∵CH是∠ACB外角平分线，
∴∠ACH = 60°.
∴∠MCH = ∠ACB + ∠ACH = 120°.
∵∠BNM = 60°，
∴∠ANM = 120°.
∴∠ANM = ∠MCH.
又
∵∠NMC = 180° - 60° = 120°，∠AMH = 60°，
∴∠HMC + ∠AMN = 60°.
又
∵∠NAM + ∠AMN = ∠BNM = 60°，
∴∠HMC = ∠MAN.
∴△ANM≌△MCH(ASA).