《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 1 如图，在$ \triangle ABC $中，$\angle ACB = 90^{\circ}，$$CD \perp AB，$垂足为 D，BF 平分$ \angle ABC $交 CD 于点 E，交 AC 于点 F. 求证 CE = CF.
分析：要证明 CE = CF，CE，CF 是$ \triangle CEF $的边，只需要证明$ \triangle CEF $是等腰三角形即可，也就是要证明$ \angle CFB = \angle CEF，$利用条件中的垂直、角平分线和三角形的内角和即可证明.
证明：在$ \triangle FBC $中，$\angle FCB = 90^{\circ}，$
$\therefore \angle CBF + \angle CFB = 90^{\circ}.$
$\because CD \perp AB,$
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}.$
$\therefore \angle EBD + \angle BED = 90^{\circ}.$
$\because BF $平分$ \angle ABC,$
$\therefore \angle CBF = \angle EBD.$
$\therefore \angle CFB = \angle BED.$
$\therefore \angle CFB = \angle CEF.$
$\therefore CE = CF.$

答案： 证明：在$\triangle FBC$中，$\angle FCB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBF+\angle CFB=90^{\circ}$。
$\because CD\perp AB$，
$\therefore \angle CDB=90^{\circ}$。
$\therefore \angle EBD+\angle BED=90^{\circ}$。
$\because BF$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle CBF=\angle EBD$。
$\therefore \angle CFB=\angle BED$。
$\because \angle BED=\angle CEF$（对顶角相等），
$\therefore \angle CFB=\angle CEF$。
$\therefore CE=CF$。

例 2 如图，AD 为$ \triangle ABC $的中线，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F，且 AE = EF. 求证 BF = AC.
分析：要证 BF = AC，可将 BF，AC 放入同一个三角形中，再证这个三角形是等腰三角形. D 是 BC 的中点，可考虑中线倍长证全等和平行，又有 AE = EF，可得$ \angle EAF = \angle EFA，$等角证等腰.
证明：如图，延长 AD 至点$ A_1，$使$ AD = A_1D，$连接$ BA_1.$
$\because AE = EF,$
$\therefore \angle EAF = \angle EFA = \angle BFD.$
$\because D $是 BC 的中点,
$\therefore BD = CD.$
在$ \triangle ACD $和$ \triangle A_1BD $中，
$\left\${
$\begin{array}{l}$
CD = BD, \\
$\angle ADC = \angle A_1DB, \\$
$AD = A_1D,$
$\end{array}$
$\right.$
$\therefore \triangle ACD \cong \triangle A_1BD(SAS).$
$\therefore \angle CAD = \angle BA_1D, AC = BA_1.$
$\therefore \angle BFD = \angle BA_1D.$
$\therefore BF = BA_1 = AC.$

答案： 证明：
延长 $AD$ 至点 $A_1$，使 $AD = A_1D$，连接 $BA_1$。
$\because AE = EF$，
$\therefore \angle EAF = \angle EFA = \angle BFD$。
$\because D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BD = CD$。
在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle A_1BD$ 中，
$\left\{\begin{array}{l}CD = BD, \\\angle ADC = \angle A_1DB, \\AD = A_1D,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACD \cong \triangle A_1BD (SAS)$。
$\therefore \angle CAD = \angle BA_1D, AC = BA_1$。
$\therefore \angle BFD = \angle BA_1D$。
$\therefore BF = BA_1 = AC$。