《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

1. 在$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的中线，若$AB = 6$，$AC = 4$，设$AD = x$，则$x$的取值范围是(C)。

A.$0 ＜ x ＜ 10$
B.$2 ＜ x ＜ 8$
C.$1 ＜ x ＜ 5$
D.$2 ＜ x ＜ 10$

答案：
1.C
提示:如图，延长AD到点E，使AD = DE，连接BE.

$\because$AD是BC边上的中线，$\therefore BD = CD$.
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中，
$\begin{cases}AD = ED,\\\angle ADC = \angle EDB,\\DC = DB,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADC\cong \triangle EDB(SAS)$.
$\therefore AC = BE = 4$.
在$\triangle ABE$中，$\because AB - BE \lt AE \lt AB + BE$，
$\therefore 6 - 4 \lt 2x \lt 6 + 4$，$\therefore 1 \lt x \lt 5$.

2. 如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = \alpha$，点$D$为$AC$的中点，点$E$在$BD$的延长线上，将线段$CE$绕点$C$逆时针旋转$\alpha$得到线段$CF$，连接$AF$，求证$AF + BD = DE$。

答案：
2.如图，在DE上截取DG = BD.

在$\triangle DAB$和$\triangle DCG$中，$\begin{cases}AD = CD,\\\angle ADB = \angle CDG,\\BD = GD,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle CGD(SAS)$.$\therefore CG = AB = AC$，$\angle DCG = \angle BAD = \alpha = \angle ECF$.
$\therefore \angle ACF = \angle GCE$.
在$\triangle ACF$和$\triangle GCE$中，$\begin{cases}AC = CG,\\\angle ACF = \angle GCE,\\CF = CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACF\cong GCE(SAS)$.$\therefore AF = EG$.
$\because DG = BD$，$\therefore AF + BD = EG + DG = DE$.

3. 【发现问题】(1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AC = 3$，求$BC$边上的中线$AD$的取值范围。
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长$AD$到点$E$，使得$DE = AD$；
②连接$BE$，通过三角形全等把$AB$，$AC$，$2AD$转化到$\triangle ABE$中；
③利用三角形的三边关系可得$AE$的取值范围为$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，从而得到$AD$的取值范围是$1 \lt AD \lt 4$。
【问题解决】(2)如图②，$OA = OB$，$OC = OD$，$\angle AOB$与$\angle COD$互补，连接$AC$，$BD$，$E$是$AC$的中点，求证$OE = \frac{1}{2}BD$。
(3)如图③，在(2)的条件下，若$\angle AOB = 90^{\circ}$，延长$EO$交$BD$于点$F$，$OF = 3$，$OE = 6$，求$\triangle AOC$的面积。

答案：
3.
(1)由题意知，$\triangle BDE\cong \triangle CDA$，$\therefore BE = AC = 3$，$DE = AD$.
$\therefore AE = 2AD$.$\because AB - BE \lt AE \lt AB + BE$，
$\therefore 5 - 3 \lt 2AD \lt 5 + 3$，即$1 \lt AD \lt 4$，
故答案为:$1 \lt AD \lt 4$.
(2)如图①，延长OE到点P，使OE = EP，连接AP.

$\because E$是AC的中点，$\therefore AE = CE$.
又$\because EP = OE$，$\angle AEP = \angle CEO$，
$\therefore \triangle AEP\cong \triangle CEO(SAS)$.
$\therefore AP = CO = OD$，$\angle CAP = \angle C$.
$\therefore AP// CO$.$\therefore \angle AOC + \angle OAP = 180^{\circ}$.
$\because \angle AOB$与$\angle COD$互补，
$\therefore \angle AOC + \angle BOD = 180^{\circ}$.$\therefore \angle BOD = \angle OAP$.
又$\because AP = OD$，$OA = OB$，
$\therefore \triangle BOD\cong \triangle OAP(SAS)$.$\therefore BD = OP$.
$\therefore OE = \frac{1}{2}OP = \frac{1}{2}BD$.
(3)如图②，延长OE到点P，使OE = EP，连接AP.

$\because \triangle AEP\cong \triangle CEO$，$\triangle BOD\cong \triangle OAP$，
$\therefore S_{\triangle AEP} = S_{\triangle CEO}$，$S_{\triangle BOD} = S_{\triangle OAP}$，$\angle D = \angle P = \angle COE$.
$\therefore S_{\triangle AOC} = S_{\triangle AOE} + S_{\triangle CEO} = S_{\triangle AOE} + S_{\triangle AEP} = S_{\triangle OAP} = S_{\triangle BOD}$.
$\because \angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle COE + \angle DOF = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle DOF + \angle D = 90^{\circ}$.$\therefore \angle OFD = 90^{\circ}$.
$\because OF = 3$，$OE = 6$，$\therefore BD = 2OE = 12$.
$\therefore S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2}BD× OF = \frac{1}{2}×12×3 = 18$.
$\therefore \triangle AOC$的面积为18.