《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 2 如图①，一根木棒BC斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子AB，AC构成一个直角三角形ABC，若∠CBA与∠BCA的平分线交于点P，求∠P的度数。若木棒向上或向下滑动，其他条件不变，∠P的度数有什么变化？请说明理由。

分析：本题中，我们可将∠CBA与∠BCA的和作为一个整体看待，先求出∠CBA + ∠BCA的度数，进而求得∠P的度数。一般地，如图②所示，若BP，CP分别平分∠CBA与∠BCA，则∠P = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
解：∠P = 135°保持不变。理由如下：
在△ABC中，∠A = 90°，而∠CBA + ∠BCA + ∠A = 180°，
∴∠CBA + ∠BCA = 180° - ∠A。
∴在△PBC中，∠P = 180° - (∠CBP + ∠BCP) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠CBA + ∠BCA) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A = 90° + 45° = 135°。
当木棒向上或向下滑动时，∠P的度数不变，仍为135°。事实上，木棒向上或向下滑动，不影响∠A的大小，所以∠CBA + ∠BCA仍为90°，∠CBP + ∠BCP还是45°，因而∠P = 180° - (∠CBP + ∠BCP) = 180° - 45° = 135°。

答案： 在△ABC中，∠A=90°，∠CBA+∠BCA+∠A=180°，
∴∠CBA+∠BCA=180°-∠A=180°-90°=90°。
∵BP，CP分别平分∠CBA与∠BCA，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠CBA，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$(∠CBA+∠BCA)=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
在△PBC中，∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-45°=135°。
当木棒向上或向下滑动时，∠P的度数不变，仍为135°。理由如下：
木棒滑动过程中，∠A始终为90°，则∠CBA+∠BCA=90°不变，
∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$(∠CBA+∠BCA)=45°不变，
∴∠P=180°-45°=135°不变。
答：∠P的度数为135°；木棒滑动时∠P的度数保持135°不变。