《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，$AB = 10$，$E$是$AB$上一动点，则线段$CE$的最小值为4.8.

答案： 1.4.8

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 4$，$D$为$AB$的中点，$E$为线段$AC$上任意一点(不与$A$，$C$两点重合)，当点$E$在线段$AC$上运动时，$DE$的最小值为2.

答案： 2.2

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB\perp AC$，$AB = 3$，$BC = 5$，$AC = 4$，$EF$为$BC$的垂直平分线，点$P$为直线$EF$上任意一点，则$\triangle ABP$周长的最小值是7.

答案： 3.7

4. 如图，在$\angle POQ$内部有两定点$M$，$N$，$\angle MOP = \angle NOQ$.
(1) 在射线$OP$上取一点$A$，使点$A$到点$M$和点$N$的距离之和最小；在射线$OQ$上取一点$B$，使点$B$到点$M$和点$N$的距离之和最小. 画图并简要说明画法.
(2) 直接写出$AM + AN$与$BM + BN$的大小关系.

答案：
4.
(1)如图所示.

画法:
①作点 M 关于射线 OP 的对称点$M^{\prime}$；
②连接$M^{\prime}N$ 交 OP 于点 A；
③作点 N 关于射线 OQ 的对称点$N^{\prime}$；
④连接$N^{\prime}M$ 交 OQ 于点 B.
(2)AM＋AN 与 BM＋BN 的大小关系是：$AM＋AN = BM＋BN$.

5. 如图，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$P$是$\angle AOB$内一点，$OP = 10$，$M$，$N$分别是射线$OA$，$OB$上的动点.
(1) 作出当$\triangle PMN$的周长最小时，点$M$和点$N$的位置.
(2) 求$\triangle PMN$周长的最小值.
(3) 在(1)的条件下，直接写出$\angle MPN$的大小为$120^{\circ}$.

答案：
5.
(1)如图,分别作点 P 关于$OA,OB$ 的对称点$P^{\prime}$和$P^{\prime\prime}$，连接$P^{\prime}P^{\prime\prime}$交 OA 于点 M，交 OB 于点 N，连接 PM，PN，此时的$\triangle PMN$ 的周长最小.

(2)连接$OP^{\prime},OP^{\prime\prime}$，
∵点 P 和点$P^{\prime}$关于 OA 对称，
$\therefore OP = OP^{\prime} = 10,PM = P^{\prime}M,\angle AOP = \angle AOP^{\prime}$．
∵点 P 和点$P^{\prime\prime}$关于 OB 对称，
$\therefore OP = OP^{\prime\prime} = 10,PN = P^{\prime\prime}N,\angle BOP = \angle BOP^{\prime\prime}$．
∵$\angle AOP + \angle BOP = \angle AOB = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle P^{\prime}OP^{\prime\prime} = 60^{\circ}$．
$\therefore \triangle P^{\prime}OP^{\prime\prime}$为等边三角形，$\triangle PMN$ 的周长$= PM + PN + MN = P^{\prime}M + P^{\prime\prime}N + MN = P^{\prime}P^{\prime\prime} = 10$.
(3)$120^{\circ}$
提示：设$\angle AOP = \alpha$，则$\angle BOP = 30^{\circ} - \alpha$，由
(2)得，$\triangle P^{\prime}OP^{\prime\prime}$为等边三角形，
$\therefore \angle OP^{\prime}P^{\prime\prime} = \angle OP^{\prime\prime}P^{\prime} = 60^{\circ},\angle AMP^{\prime} = \angle AMP = 60^{\circ} + \angle P^{\prime}OA = 60^{\circ} + \alpha$，
$\therefore \angle OMP = 180^{\circ} - \angle AMP = 120^{\circ} - \alpha$，同理，$\angle BNP^{\prime\prime} = \angle BNP = 60^{\circ} + \angle P^{\prime\prime}OB = 90^{\circ} - \alpha$，
$\therefore \angle ONP = 180^{\circ} - \angle PNB = 90^{\circ} + \alpha$，
∵$\angle MON + \angle OMP + \angle MPN + \angle ONP = 360^{\circ}$，
$\therefore 30^{\circ} + 120^{\circ} - \alpha + \angle MPN + 90^{\circ} + \alpha = 360^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN = 120^{\circ}$.