《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，$\angle ABC=\angle CDA = 90^{\circ}$，连接 $BD$，则 $\angle BDC$ 的度数为$45^{\circ}$。

答案：
1.$45^{\circ}$
提示：如图，作$BF\perp DC$交$DC$的延长线于点$F$，作$BE\perp AD$，垂足为$E$．

$\because BE\perp AD,BF\perp CD$，
$\therefore\angle F=\angle DEB=\angle CDA=90^{\circ}$．
$\therefore\angle EBF=90^{\circ}$．
$\because\angle EBC+\angle ABE=90^{\circ},\angle EBC+\angle CBF=90^{\circ}$，
$\therefore\angle CBF=\angle ABE$．
在$\triangle AEB$和$\triangle CFB$中，
$\begin{cases} \angle ABE=\angle CBF, \\ \angle AEB=\angle F=90^{\circ}, \\AB=BC, \end{cases}$
$\therefore\triangle AEB\cong\triangle CFB( AAS)$．$\therefore BE=BF$．
$\therefore DB$平分$\angle ADC$．
$\therefore\angle BDC=\frac{1}{2}\angle ADC=45^{\circ}$．

2. 如图，在四边形 $OACB$ 中，$CM\perp OA$，垂足为 $M$，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3+\angle 4 = 180^{\circ}$。
(1) 求证 $CA = CB$。
(2) 求证 $OA + OB = 2OM$。

答案：
2.
(1)如图，作$CE\perp OB$交$OB$的延长线于点$E$．

$\because CE\perp OB,CM\perp OA,\angle1=\angle2$，
$\therefore CE=CM,\angle BEC=\angle CMA=90^{\circ}$．
$\because\angle3+\angle4=180^{\circ},\angle EBC+\angle4=180^{\circ}$，
$\therefore\angle3=\angle EBC$．
在$\triangle ACM$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases} \angle3=\angle EBC, \\ \angle CMA=\angle CEB, \\CM=CE, \end{cases}$
$\therefore\triangle ACM\cong\triangle BCE( AAS)$．
$\therefore CA=CB$．
(2)$\because\angle1=\angle2,\angle BEC=\angle CMO=90^{\circ},OC=OC$．
$\therefore\triangle OCE\cong\triangle OCM( AAS)$，$\therefore OE=OM$．
又$\because\triangle BCE\cong\triangle ACM$，$\therefore BE=AM$．
$\therefore OA+OB=OM+MA+OE-BE=2OM$．

3. 【阅读理解】(1) 在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $BD$ 平分 $\angle ABC$，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$。求证 $DA = DC$。
老师提示：遇到“角平分线 + 对角互补”的情况，可以通过“截长、补短”等方法构造全等三角形去解决问题。小组讨论后，小明和小刚举手发言，讲述了他们的思路。
小明：在 $BC$ 上截取 $BM = BA$，连接 $DM$，得到全等三角形，进而解决问题；
小刚：延长 $BA$ 到点 $N$，使得 $BN = BC$，连接 $DN$，得到全等三角形，进而解决问题。
结合图①，在小明和小刚的思路中任选一种进行证明。
【问题解决】(2) 如图②，在(1) 的条件下，连接 $AC$，当 $\angle DAC = 60^{\circ}$ 时，探究线段 $AB$，$BC$，$BD$ 之间的数量关系，并说明理由。
【问题拓展】(3) 如图③，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$，$DA = DC$，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，垂足为 $E$，请直接写出线段 $AB$，$CE$，$BC$ 之间的数量关系。

答案：
3.
(1)小明的方法：如图①，在$BC$上截取$BM=BA$，连接$DM$．

$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore\angle ABD=\angle CBD$．
在$\triangle ABD$和$\triangle MBD$中，
$\begin{cases} BD=BD, \\ \angle ABD=\angle MBD, \\BA=BM, \end{cases}$
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle MBD( SAS)$．
$\therefore\angle A=\angle BMD,AD=MD$．
$\because\angle BMD+\angle CMD=180^{\circ},\angle C+\angle A=180^{\circ}$，
$\therefore\angle C=\angle CMD$．
$\therefore DM=DC$．$\therefore DA=DC$．
小刚的方法：如图②，延长$BA$到点$N$，使$BN=BC$，连接$DN$．

$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore\angle NBD=\angle CBD$．
在$\triangle NBD$和$\triangle CBD$中，
$\begin{cases} BD=BD, \\ \angle NBD=\angle CBD, \\BN=BC, \end{cases}$
$\therefore\triangle NBD\cong\triangle CBD( SAS)$．
$\therefore\angle BND=\angle C,ND=CD$．
$\because\angle NAD+\angle BAD=180^{\circ},\angle C+\angle BAD=180^{\circ}$，
$\therefore\angle BND=\angle NAD$，$\therefore DN=DA$．$\therefore DA=DC$．
(2)$AB,BC,BD$之间的数量关系为$AB+BC=BD$．
理由如下：如图③，延长$CB$到点$P$，使$BP=BA$，连接$AP$．

由
(1)知$AD=CD$，$\because\angle DAC=60^{\circ}$，$\therefore\triangle ADC$是等边三角形．
$\therefore AC=AD,\angle ADC=60^{\circ}$．$\because\angle BCD+\angle BAD=180^{\circ}$，
$\therefore\angle ABC=360^{\circ}-180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$．$\therefore\angle PBA=180^{\circ}-\angle ABC=60^{\circ}$．
$\because BP=BA$，$\therefore\triangle ABP$为等边三角形，$\therefore\angle PAB=60^{\circ},AB=AP$，
$\because\angle DAC=60^{\circ}$，$\therefore\angle PAB+\angle BAC=\angle DAC+\angle BAC$，即$\angle PAC=\angle BAD$．
在$\triangle PAC$和$\triangle BAD$中，
$\begin{cases} PA=BA, \\ \angle PAC=\angle BAD, \\AC=AD, \end{cases}$
$\therefore\triangle PAC\cong\triangle BAD( SAS)$．$\therefore PC=BD$，
$\because PC=BP+BC=AB+BC$，$\therefore AB+BC=BD$．
(3)线段$AB,CE,BC$之间的数量关系为$BC-AB=2CE$．理由如下：
如图④，连接$BD$，过点$D$作$DF\perp AB$交$BA$延长线于点$F$．

$\because\angle BAD+\angle C=180^{\circ},\angle BAD+\angle FAD=180^{\circ}$，
$\therefore\angle FAD=\angle C$．在$\triangle DFA$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases} \angle DFA=\angle DEC, \\ \angle FAD=\angle C, \\DA=DC, \end{cases}$
$\therefore\triangle DFA\cong\triangle DEC( AAS)$．
$\therefore DF=DE,AF=CE$．
在$ Rt\triangle BDF$和$ Rt\triangle BDE$中，
$\begin{cases} BD=BD, \\DF=DE, \end{cases}$
$\therefore Rt\triangle BDF\cong Rt\triangle BDE( HL)$．
$\therefore BF=BE$．$\therefore BC=BE+CE=AB+AF+CE=AB+2CE$．$\therefore BC-AB=2CE$．