《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

2. 两角分别相等且其中相等的两个三角形全等(可以简写成“”或“”).

答案： 一组等角的对边；角角边；AAS

3. 三角分别相等的两个三角形(填“一定”或“不一定”)全等.

答案： 不一定

例 1 如图，AD // BC，点 E 在线段 DC 上，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.求证 AD + BC = AB.
分析：证线段的和、差问题，可用截长法或补短法.本题采用截长法，首先找出 AD，BC，AB 这三条线段中最长的一条 AB，再在 AB 上截取线段 AF，使 AF = AD，这样就把证线段的和、差问题，转化为证 BF = BC 即可.通过全等来证线段或角相等是最常用的方法.本题也可以用补短法.

证明：如图，在 AB 上截取 AF，使 AF = AD，连接 EF.
∵∠1 = ∠2，AE = AE，
∴△ADE ≌ △AFE（SAS）.∴∠D = ∠5.
∵∠5 + ∠6 = 180°，∴∠D + ∠6 = 180°.
∵AD // BC，∴∠D + ∠C = 180°，∴∠6 = ∠C.
∵∠3 = ∠4，BE = BE，
∴△EFB ≌ △ECB（AAS）.∴BF = BC.
∵AF + BF = AB，∴AD + BC = AB.

答案： 证明：
在$AB$上截取$AF$，使$AF = AD$，连接$EF$。
因为$\angle1 = \angle2$，$AE = AE$，
所以$\triangle ADE\cong \triangle AFE(SAS)$。
所以$\angle D = \angle5$。
因为$\angle5 + \angle6 = 180^{\circ}$，
所以$\angle D + \angle6 = 180^{\circ}$。
因为$AD// BC$，
所以$\angle D + \angle C = 180^{\circ}$，
所以$\angle6 = \angle C$。
因为$\angle3 = \angle4$，$BE = BE$，
所以$\triangle EFB\cong \triangle ECB(AAS)$。
所以$BF = BC$。
因为$AF + BF = AB$，
所以$AD + BC = AB$。

例 2 如图，在 Rt△OBC 中，OB = OC，OB ⊥ OC，D 为 OC 的中点，连接 BD，作 OF ⊥ BD，垂足为 E，交 BC 于点 F.

（1）求证∠ODB = ∠CDF.
（2）试确定线段 OF，DF 与 BD 之间的数量关系，并证明你的结论.
分析：证角相等，有一思考途径是通过证三角形全等来进行的.当两个三角形中出现相等的边时，可构造全等三角形作为突破口.本题在构造全等三角形的过程中，以 OD，CD 为对应边.因为△CDF 中既有特征角∠CDF，又有∠DCF = 45°，所以在以 OD 为边的三角形中设法构造出与∠DCF 相等的角.因为∠DCF = 45°，考虑到∠BOC 是直角，因而采用作∠BOC 的平分线即可.本题还可在 BD 上截取 BG，使 BG = OF 或构造三角形与△DOB 全等来证，同学们不妨试一试.
解：（1）如图，作∠BOC 的平分线交 BD 于点 G，则∠DOG = ∠BOG = 45°.
∵△COB 为等腰直角三角形，
∴∠C = 45°.∴∠C = ∠GOB.
∵OF ⊥ BD，∴∠2 + ∠3 = 90°.
又∵∠1 + ∠3 = 90°，∴∠1 = ∠2.
又∵OB = OC，∴△FCO ≌ △GOB（ASA）.∴FC = GO.
又∵∠C = ∠DOG = 45°，CD = OD，
∴△CDF ≌ △ODG（SAS）.∴∠ODB = ∠CDF.
（2）OF + DF = BD，证明如下：
∵△GOB ≌ △FCO，△ODG ≌ △CDF，
∴OF = BG，DF = DG.
∴OF + DF = BG + DG = BD.

答案： （1）证明：作∠BOC的平分线交BD于点G，则∠DOG=∠BOG=45°．
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴∠C=∠GOB．
∵OF⊥BD，
∴∠OED=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∵∠BOC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△FCO和△GOB中，
∵∠C=∠GOB，OC=OB，∠1=∠2，
∴△FCO≌△GOB（ASA），
∴FC=GO．
∵D为OC中点，
∴CD=OD．
在△CDF和△ODG中，
∵CD=OD，∠C=∠DOG=45°，FC=GO，
∴△CDF≌△ODG（SAS），
∴∠CDF=∠ODG，即∠ODB=∠CDF．
（2）OF+DF=BD．
证明：
∵△FCO≌△GOB，△CDF≌△ODG，
∴OF=BG，DF=DG．
∵BD=BG+DG，
∴BD=OF+DF．