《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例1 如图$\boldsymbol{①}$，请在直线$\boldsymbol{l}$上找到一点$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$两点到点$\boldsymbol{P}$的距离之和最短。

分析：结合轴对称的性质，先画出点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$BA'$，$BA'$与直线$l$的交点就是所找的点$P$的位置，因为点$P$到点$A$与点$P$到点$A'$的距离相等，其他的任何点都不满足$B$，$P$，$A'$三点在同一直线上。
本题紧扣轴对称的性质，是一道结合轴对称的性质解决线段和最短问题的典型例题。这一性质的运用，既是本题的切入点，同时也是难点所在。
解：如图$\boldsymbol{②}$，（1）作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$；（2）连接$BA'$交直线$l$于点$P$。点$P$即为所求。证明如下：
如图$\boldsymbol{②}$，在直线$l$上任取一点$P'$（异于点$P$），连接$AP'$，$A'P'$，$BP'$，$AP$。将$PA + PB$与$P'A + P'B$比较可知，因为$PA + PB = PA' + PB = A'B$，$P'A + P'B = P'A' + P'B$，在$\triangle A'BP'$中，$A'B ＜ P'A' + P'B$，故$PA + PB ＜ P'A + P'B$。

答案： 例1 本题紧扣轴对称的性质，是一道结合轴对称的性质解决线段和最短问题的典型例题。这一性质的运用，既是本题的切入点，同时也是难点所在。解题思路为结合轴对称的性质，先画出点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$BA'$，$BA'$与直线$l$的交点就是所找的点$P$的位置，因为点$P$到点$A$与点$P$到点$A'$的距离相等，其他的任何点都不满足$B$，$P$，$A'$三点在同一直线上。