《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 1 如图，在直角三角形 ABC 中，$\angle C = 90^{\circ}，$$\angle BAC = 60^{\circ}，$角平分线 AM 长为 15. 求 BC 的长.
分析：BC = CM + BM，$\triangle ACM $是含$ 30^{\circ} $角的直角三角形，$\triangle ABM $是等腰三角形. 已知 AM 长为 15，可求 CM 和 BM.
在直角三角形中，如果一个锐角等于$ 30^{\circ}，$那么它所对的直角边等于斜边的一半，这是求线段长或寻求线段之间倍数关系的重要依据.
解：$\because AM $平分$ \angle BAC，$$\angle BAC = 60^{\circ}，$
$\therefore \angle BAM = \angle B = \angle CAM = 30^{\circ}.$
$\therefore CM = \frac{1}{2}AM, AM = BM.$
$\because AM = 15,$
$\therefore BC = 15 + 7.5 = 22.5.$

答案：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°.
∵AM平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAM=∠CAM=30°.
在Rt△ACM中，∠CAM=30°，∠C=90°，
∴CM=1/2 AM（30°角所对直角边等于斜边一半）.
∵AM=15，
∴CM=1/2×15=7.5.
在△ABM中，∠BAM=30°，∠B=30°，
∴∠BAM=∠B，
∴AM=BM（等角对等边）.
∵AM=15，
∴BM=15.
∵BC=CM+BM，
∴BC=7.5+15=22.5.
答：BC的长为22.5.

例 2 如图，在等边三角形 ABC 中，BD 平分$ \angle ABC $交 AC 于点 D，过点 D 作$ DE \perp BC，$垂足为 E，且 CE = 1. 求 AB 的长.

分析：因为 BD 是等边三角形 ABC 的角平分线，所以$ BD \perp AC.$
BC 是$ Rt\triangle BDC $的斜边，有 BC = 2DC.
在$ \triangle DEC $中，$EC = \frac{1}{2}DC，$从而可求 BC 的长.
等边三角形为轴对称图形，其对称轴为高（或中线或角平分线）所在的直线，且一条对称轴将等边三角形分成两个完全一样的含$ 30^{\circ}、$$60^{\circ}、$$90^{\circ} $角的三角形. 可利用含$ 30^{\circ} $角的直角三角形的边的关系解决实际问题.
解：$\because BD $是等边三角形 ABC 的角平分线，
$\therefore BD \perp AC, \angle DBC = 30^{\circ}.$
又$ \because DE \perp BC，$$\therefore \angle CDE = 30^{\circ}.$
$\therefore EC = \frac{1}{2}DC, BC = 2DC, AB = BC = 4EC = 4.$

答案： 解：$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$\angle ABC=\angle C=60^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ}$，且$BD\perp AC$（等边三角形三线合一），
$\therefore \angle BDC=90^{\circ}$，在$Rt\triangle BDC$中，$\angle DBC=30^{\circ}$，
$\therefore DC=\frac{1}{2}BC$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because DE\perp BC$，
$\therefore \angle DEC=90^{\circ}$，在$Rt\triangle DEC$中，$\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=30^{\circ}$，
$\therefore EC=\frac{1}{2}DC$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because CE=1$，
$\therefore DC=2EC=2×1=2$，
$\therefore BC=2DC=2×2=4$，
$\therefore AB=BC=4$。
结论：$AB$的长为$4$。