《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

12. 阅读下列分解因式的过程，再回答问题.
分解因式：$ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} $.
解：原式 $ = (1 + x) + x(1 + x) + x(1 + x)^{2} $
$ = (1 + x)[1 + x + x(1 + x)] $
$ = (1 + x)[(1 + x)(1 + x)] $
$ = (1 + x)^{3} $.
(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.
(2)分解因式 $ 1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^{2} + x(1 + x)^{3} $.
(3)猜想 $ 1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^{2} + ·s + x(1 + x)^{n} $ 分解因式的结果是$ (1 + x)^{n + 1} $.

答案： 12.
(1)提公因式法 2
(2)原式$=(1 + x)+x(1 + x)+x(1 + x)^2+$
$x(1 + x)^3$
$=(1 + x)[1 + x + x(1 + x)+x(1 + x)^2]$
$=(1 + x)^2[1 + x + x(1 + x)]$
$=(1 + x)^2[(1 + x)(1 + x)]=(1 + x)^4.$
(3)原式$=(1 + x)+x(1 + x)+x(1 + x)^2+⋯+$
x(1 + x)^n=(1 + x)[1 + x + x(1 + x)+⋯+
$x(1 + x)^{n - 1}]$
$=(1 + x)^{n + 1}.$

13. 【观察思考】
古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数. 如图①，当小石子的个数是 $ 1,3,6·s $ 时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数. 如图②，当小石子的个数是 $ 1,4,9·s $ 时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数.

【发现规律】
(1)图①中，第 $ n $ 个三角形数是$ \frac{n(n + 1)}{2} $；图②中，第 $ n $ 个正方形数是$ n^2 $.(用含 $ n $ 的式子表示)
【猜想验证】
(2)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：$ 1 + 3 = 4 $，$ 6 + 10 = 16 $. 请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数.

答案： 13.
(1)由题意知第n个三角形数为$1 + 2 + 3 + ⋯ + n=\frac{n(n + 1)}{2},$第n个正方形数为$n^2.$
故答案为$:\frac{n(n + 1)}{2},n^2.$
(2)设任意两个相邻的三角形数为第k个数和第
(k + 1)个数,则$\frac{k(k + 1)}{2}+\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}=$
$\frac{(k + 1)}{2}[k+(k + 2)]=\frac{(k + 1)}{2}(2k + 2)=(k +$
$1)^2,$所以任意相邻的第k个数和第(k + 1)个三
角形数之和恰等于第(k + 1)个正方形数.即任意
两个相邻三角形数之和是正方形数.