《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,2)$，$B(3,1)$，$C(4,3)$。
(1) 点$C$关于$y$轴的对称点的坐标为(-4,3)。
(2) 作$△ABC$关于直线$m$(直线$m$上各点的纵坐标都为$-1$)的对称图形$△A_1B_1C_1$，点$C$关于直线$m$的对称点$C_1$的坐标为C₁(4,-5)。
(3) 点$P$是坐标轴上一点，使$△ABP$是等腰三角形，则符合条件的点$P$的个数为6个。

答案： 19.
(1)(-4,3)　　
(2)C₁(4,-5)　　
(3)6个

20. 我们知道：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫作等对边四边形。
(1) 如图，在$△ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，设$CD$，$BE$相交于点$O$，若$∠A = 60^{\circ}$，$∠DCB = ∠EBC = \frac{1}{2}∠A$。请你写出图中一个与$∠A$相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形。
(2) 在$△ABC$中，如果$∠A$是不等于$60^{\circ}$的锐角，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，且$∠DCB = ∠EBC = \frac{1}{2}∠A$。探究满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

答案： 20.
(1)与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE)，四边形DBCE是等对边四边形.
(2)存在等对边四边形,是四边形DBCE.以C为顶点作∠FCB = ∠DBC,CF交BE于点F.
∵∠DCB = ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠A,BC为公共边，
∴△BDC≌△CFB.
∴BD = CF,∠BDC = ∠CFB.
∴∠ADC = ∠CFE.
∵∠ADC = ∠DCB + ∠EBC + ∠ABE,∠FEC = ∠A + ∠ABE，
∴∠ADC = ∠FEC.
∴∠FEC = ∠CFE.
∴CF = CE.
∴BD = CE.
∴四边形DBCE 是等对边四边形.