《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 2 在平面直角坐标系中，已知 $A(2,2)$，$B(4,0)$. 若在坐标轴上取点 $C$，使$\triangle ABC$ 为等腰三角形，则满足条件的点 $C$ 的个数是().
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $8$
分析：对等腰三角形的底和腰分类讨论.
解：以 $AC$ 为底，即 $AB = BC$ 时，点 $C$ 在 $x$ 轴上有 $2$ 个；以 $BC$ 为底，即 $AB = AC$ 时，点 $C$ 在坐标轴上有 $3$ 个，但其中有 $1$ 个与点 $B$ 重合，有 $1$ 个在 $BA$ 的延长线上，此时满足条件的点 $C$ 只有 $1$ 个；以 $AB$ 为底，即 $AC = BC$ 时，点 $C$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，线段 $AB$ 的垂直平分线与坐标轴的交点有 $2$ 个，此时满足条件的点 $C$ 有 $2$ 个.
故选 A.

答案： 情况一：AB=AC
点C在x轴：设C(x,0)，AC²=(x-2)²+(0-2)²=8，解得x=4（与B重合，舍）或x=0，得C(0,0)。
点C在y轴：设C(0,y)，AC²=4+(y-2)²=8，解得y=4或y=0，得C(0,4)、(0,0)（原点重复，计1个）。
有效点：(0,0)、(0,4)，共2个。
情况二：AB=BC
点C在x轴：设C(x,0)，BC²=(x-4)²=8，解得x=4±2√2，得C(4+2√2,0)、(4-2√2,0)。
点C在y轴：BC²=16+y²=8无解。
有效点：2个。
情况三：AC=BC
AB垂直平分线方程：y=x-2。
与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-2)。
有效点：(2,0)、(0,-2)，共2个。
总有效点：2+2+2=6个。
B

1. 公元前 $4$ 世纪，古希腊数学家提出了“三等分角”的几何问题. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角. 这个三等分角仪由两根有槽的棒 $OA$，$OB$ 组成，两根棒在点 $O$ 处相连并可绕点 $O$ 转动，点 $C$ 固定，$OC = CD = DE$，点 $D$，$E$ 可在槽中滑动，若 $\angle BDE = 75^{\circ}$，则 $\angle CDE$ 的度数是(D).

A.$60^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 1.D

2. 如图，$AD$，$CE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的中线和角平分线. 若 $AB = AC$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，则 $\angle ACE$ 的度数是(B).

A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 2.B

3. 将一台带有保护套的平板电脑按图①的方式放置在水平桌面上，其侧面如图②所示. 经测量，$AB = 10\ cm$，$BC = 12\ cm$，若移动支点 $C$ 的位置，使 $\triangle ABC$ 是一个等腰三角形，则 $\triangle ABC$ 的周长为(C).

A.$32\ cm$
B.$34\ cm$
C.$32\ cm$ 或 $34\ cm$
D.$36\ cm$

答案： 3.C