《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

18. 如图是由小正方形组成的$7×7$网格，每个小正方形的顶点叫作格点.$\triangle ABC$的三个顶点都是格点. 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示.
（1）在图①中，在直线$BC$的上方取一个不同于点$A$的格点$M$，使$\angle BMC=\angle BAC$.
（2）在图②中，在$\triangle ABC$内取一点$N$，使$\angle BNC = 180^{\circ}-\angle BAC$.（答案不唯一，只作一种）

答案：
18.
　　　　　　

19. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为$90^{\circ}$，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型. 当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形.
(1)①如图①，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，过点$C$作直线$DE$，$AD\perp DE$，垂足为$D$，$BE\perp DE$，垂足为$E$，则$CD$与$BE$的数量关系是CD=BE.
②如图②，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，过点$C$作直线$CE$，过点$A$作$AD\perp CE$，垂足为$D$，过点$B$作$BE\perp CE$，垂足为$E$，$AD = 5$，$BE = 2$，则$DE$的长为3.
【变式运用】(2)如图③，在$Rt\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ}$，$CD = 4$. 求$\triangle BCD$的面积.

答案：
19.
(1)①
∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
在△CAD与△BCE中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△CAD≌△BCE(AAS).
∴CD=BE.
故答案为:CD=BE.
②
∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
在△CAD与△BCE中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△CAD≌△BCE(AAS).
∴CD=BE,AD=CE.
∵AD=5,BE=2,
∴DE=CE - CD=AD - BE=5 - 2=3.故答案为:3.
(2)在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=∠ADC=90°,CD=4.
如图,作BE⊥CD,交CD于点E.
　　　　　　　　　
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
在△CAD与△BCE中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△CAD≌△BCE(AAS).
∴CD=BE.
∴$S_{△BCD} = \frac{1}{2}×4×4=8.$