《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

12. 【问题提出】阅读材料：用$\overline{ab}$表示一个两位数，$a$代表十位上的数，$b$代表个位上的数，即$\overline{ab}=10a + b$。请观察下列算式的运算规律。
$15×15 = 100×1×2 + 5×5 = 225$，
$25×25 = 100×2×3 + 5×5 = 625$，
$35×35 = 100×3×4 + 5×5 = 1225$，
……
(1)根据以上运算规律，猜想：$\overline{a5}×\overline{a5}=$100a(a+1)$+5×5$。
【推理证明】(2)结合以上内容，请你证明(1)中的猜想。
【引申运用】(3)如果$b + c = 10$，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法，并证明你的结论。

答案： $12.(1)a\overline{5}× a\overline{5}=100a(a+1)+5×5，$
故答案为:100a(a+1).
$(2)a\overline{5}× a\overline{5}=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25，$
$100a(a+1)+5×5=100a^{2}+100a+25，$
$\thereforea\overline{5}× a\overline{5}=100a(a+1)+5×5.$
(3)ab× ac=100a(a+1)+bc.
证明$:\becauseb+c=10,\thereforeab× ac=(10a+b)(10a+c)=100a^{2}+10a(b+c)+bc=100a^{2}+100a+bc=100a(a+1)+bc\thereforeab× ac=100a(a+1)+bc.$

13. 阅读材料：若$m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$，求$m$，$n$的值。
$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$，
$\therefore(m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)=0$。
$\therefore(m - n)^{2}+(n - 4)^{2}=0$。$\therefore(m - n)^{2}=0$，$(n - 4)^{2}=0$，
$\therefore n = 4$，$m = 4$。
根据你的观察，探究下面的问题。
(1)$a^{2}+b^{2}-4a + 4 = 0$，则$a =$2 0，$b =$。
(2)已知$x^{2}+2y^{2}-2xy + 6y + 9 = 0$，求$x^{y}$的值。
(3)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且满足$(a + b + c)^{2}=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$，求证$\triangle ABC$为等边三角形。

答案： 13.
(1)2 0
$(2)\because x^{2}+2y^{2}-2xy+6y+9=0,\therefore x^{2}+y^{2}-2xy+y^{2}+6y+9=0，$
即$(x-y)^{2}+(y+3)^{2}=0，$则x-y=0,y+3=0，
解得x=y=-3.
$\thereforex^{y}=(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}.$
$(3)\because(a+b+c)^{2}=3(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\therefore2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc-2ac+2c^{2}=0.$
$\therefore(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0,$则a-b=0，b-c=0,a-c=0,解得a=b=c，
$\therefore\triangleABC$是等边三角形.