《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例1 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AC$上一点，$AE\perp BD$交$BD$的延长线于点$E$，且$BD = 2AE$。求证$BD$是$\angle ABC$的平分线。

分析：解题时，根据图形结构、题设条件、所求结论、数字特征合理地展开联想，是一种重要的思维方式。本题已知$AE\perp BD$，垂足为$E$，要证$BD$平分$\angle ABC$，可联想到延长线段$AE$与$\angle ABC$另一边相交，构成等腰三角形，再通过证全等三角形，得出$BD$是$\angle ABC$的平分线。
证明：如图，延长$AE$交$BC$的延长线于点$H$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$AE\perp BD$，$\angle ADE = \angle BDC$，$\therefore\angle EAD = \angle CBD$。
又$\because AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ} = \angle ACH$，$\therefore\triangle AHC\cong\triangle BDC$。$\therefore AH = BD$。
$\because BD = 2AE$，$\therefore AE = EH$。
$\because\angle AEB = \angle HEB = 90^{\circ}$，$BE = BE$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle HBE$。$\therefore\angle ABE = \angle HBE$。
$\therefore BD$是$\angle ABC$的平分线。

答案： 证明：延长AE交BC的延长线于点H。
∵∠ACB=90°，AE⊥BD，
∴∠AED=∠ACB=90°。
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠CBD（等角的余角相等）。
∵AC=BC，∠ACH=∠ACB=90°，
∴△AHC≌△BDC（ASA）。
∴AH=BD。
∵BD=2AE，
∴AH=2AE，即AE=EH。
∵∠AEB=∠HEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△HBE（SAS）。
∴∠ABE=∠HBE。
∴BD是∠ABC的平分线。

例2 如图，在四边形$ABCD$中，$BD$平分$\angle ABC$，$AD = CD$。求证$\angle BAD + \angle C = 180^{\circ}$。
分析：角平分线上的点到角的两边距离相等，过角的平分线上的点向角的两边作垂线是常用辅助线，可将角相等转化为线段相等。再利用全等三角形将$\angle C$转换为$\angle FAD$进行证明。
证明：如图，过点$D$作$DE\perp BC$，垂足为$E$，$DF\perp BA$，垂足为$F$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore DE = DF$。
又$\because AD = CD$，$\therefore Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle CDE$。$\therefore\angle FAD = \angle C$。
$\therefore\angle BAD + \angle C = \angle BAD + \angle FAD = 180^{\circ}$。

答案： 证明：过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DE=DF。
在Rt△ADF和Rt△CDE中，
∵AD=CD，DF=DE，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）。
∴∠FAD=∠C。
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠C=180°。