《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 (1)已知点 $ A(m + 2,3) $，$ B(-5,n + 6) $ 关于 $ y $ 轴对称, 则 $ m = $，$ n = $.
(2)若点 $ P(a,3) $ 和 $ P_1(2,b) $ 关于 $ x $ 轴对称, 则方程 $ ax + b = 0 $ 的解为.
(3)若点 $ P(a,b) $，$ Q(c,d) $ 两点关于直线 $ x = 2 $ 对称, 则 $ a $，$ c $ 间的关系是，$ b $，$ d $ 间的关系是.
(4)若点 $ P(a,b) $，$ Q(c,d) $ 两点关于直线 $ y = -2 $ 对称, 则 $ a $，$ c $ 间的关系是，$ b $，$ d $ 间的关系是.
分析: 熟练掌握点 $ (x,y) $ 关于 $ x $ 轴对称的点的坐标为 $ (x,-y) $，点 $ (x,y) $ 关于 $ y $ 轴对称的点的坐标为 $ (-x,y) $ 是解决问题的关键所在, 还可以研究关于平行于 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的直线上点的坐标变化规律.
(1)根据点 $ (x,y) $ 关于 $ y $ 轴对称的点的坐标为 $ (-x,y) $，求出 $ m $，$ n $；
(2)先根据点 $ (x,y) $ 关于 $ x $ 轴对称的点的坐标为 $ (x,-y) $，求出 $ a $，$ b $，再解方程；
(3)直线 $ x = 2 $ 平行于 $ y $ 轴, $ P $，$ Q $ 两点关于直线 $ x = 2 $ 对称, 纵坐标相等, 再利用 $ P $，$ Q $ 两点到直线 $ x = 2 $ 的距离相等可求出横坐标的关系；
(4)直线 $ y = -2 $ 平行于 $ x $ 轴, $ P $，$ Q $ 两点关于直线 $ y = -2 $ 对称, 横坐标相等, 再利用 $ P $，$ Q $ 两点到直线 $ y = -2 $ 的距离相等可求出纵坐标的关系.
解: (1)$ 3 $；$ -3 $. (2)$ x = \frac{3}{2} $. (3)$ a + c = 4 $；$ b = d $. (4)$ a = c $；$ b + d = -4 $.

答案：
(1)
因为点$A(m + 2,3)$，$B(-5,n + 6)$关于$y$轴对称，根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得$\begin{cases}m + 2=-(-5)\\n + 6 = 3\end{cases}$
解$m + 2 = 5$得$m = 3$，解$n + 6 = 3$得$n = - 3$。
(2)
因为点$P(a,3)$和$P_1(2,b)$关于$x$轴对称，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得$\begin{cases}a = 2\\b=-3\end{cases}$
把$a = 2$，$b = - 3$代入方程$ax + b = 0$，得$2x-3 = 0$，解得$x=\frac{3}{2}$。
(3)
因为点$P(a,b)$，$Q(c,d)$两点关于直线$x = 2$对称，直线$x = 2$平行于$y$轴，所以$b = d$，且$\frac{a + c}{2}=2$，即$a + c = 4$。
(4)
因为点$P(a,b)$，$Q(c,d)$两点关于直线$y = -2$对称，直线$y = -2$平行于$x$轴，所以$a = c$，且$\frac{b + d}{2}=-2$，即$b + d = - 4$。
故答案依次为：
(1)$3$；$-3$；
(2)$x=\frac{3}{2}$；
(3)$a + c = 4$；$b = d$；
(4)$a = c$；$b + d = - 4$。