《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

23. 把图①的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）.

(1) 如图②，将四个基本图形进行拼图，得到正方形$ABCD$和正方形$EFGH$，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含$a$，$b$的代数式表示），并写出一个等式.
(2) 如图③，将四个基本图形进行拼图，得到四边形$MNPQ$，求阴影部分的面积（用含$a$，$b$的代数式表示）.
(3) 如图④，将图③的上面两个基本图形作为整体图形向左运动$x$个单位长度，再向上运动$2b$个单位长度后得到一个长方形图形，若$AB = b$，$BC$把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，若$m = S_{1}-S_{2}$，求证：$m$与$x$无关.

答案：
23.
(1)方法一:
∵在图②中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为$S_{正方形}=(a + b)^{2}.$
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴$S_{阴影}=(a + b)^{2}-4ab;$
　方法二:
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH = EF=a - b,
∴$S_{阴影}=EH^{2}=(a - b)^{2}.$
∴$(a + b)^{2}-4ab=(a - b)^{2}.$
(2)
∵NP=a + b,MN=a + b,
∴四边形MNPQ是正方形，
∴$S_{阴影}=MN^{2}-4ab=(a + b)^{2}-4ab,$
　即$S_{阴影}=(a + b)^{2}-4ab=a^{2}-2ab + b^{2}.$
(3)如图分割,根据图形可知,AF=a + x - 2b,

$m = S_{1}-S_{2} $
　=2b·2b + bx-(a - 2b + x)b-3b·b
$　=4b^{2}+bx-(ab - 2b^{2}+bx)-3b^{2}$
$　=4b^{2}+bx - ab + 2b^{2}-bx - 3b^{2}$
$　=3b^{2}-ab,$
∴m与x无关.