《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例2 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$DF$垂直平分$AB$交$AC$于点$F$，$AB + BC = 6$，求$\triangle BCF$的周长。

分析：$AF$，$BF$关于$DF$对称，所以$AF = BF$，$AC = BF + CF = AB$，$\triangle BCF$的周长等于$AB + BC$的和。
本题无须说明$\triangle AFD \cong \triangle BFD$，直接利用线段垂直平分线的性质解答。
解：$\because DF$垂直平分$AB$，
$\therefore AF = BF$，则$\triangle BCF$的周长为：
$CF + CB + BF = CF + CB + AF = CB + AC = AB + BC = 6$。

答案： 例2 本题无须说明$\triangle AFD \cong \triangle BFD$，直接利用线段垂直平分线的性质解答。因为$AF$，$BF$关于$DF$对称，所以$AF = BF$，$AC = BF + CF = AB$，$\triangle BCF$的周长等于$AB + BC$的和，已知$AB + BC = 6$，所以$\triangle BCF$的周长为$6$。

例3 如图，线段$AB$，$BC$的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点$O$，若$\angle 1 = 39^{\circ}$，求$\angle AOC$的大小。
分析：由点$O$为线段$AB$，$BC$的垂直平分线的交点，可知$OA = OB = OC$，再利用三角形外角等于不相邻两内角的和计算。
解：过点$O$作射线$BP$，如图。
$\because$线段$AB$，$BC$的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点$O$，

$\therefore AO = OB = OC$，$\angle BDO = \angle BEO = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle DOE + \angle ABC = 180^{\circ}$。
$\because \angle DOE + \angle 1 = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle 1 = 39^{\circ}$。
$\because OA = OB = OC$，
$\therefore \angle A = \angle ABO$，$\angle OBC = \angle C$。
$\because \angle AOP = \angle A + \angle ABO$，$\angle COP = \angle C + \angle OBC$，
$\therefore \angle AOC = \angle AOP + \angle COP = 2\angle ABO + 2\angle OBC = 2\angle ABC = 2× 39^{\circ} = 78^{\circ}$。

答案： 例3 本题由点$O$为线段$AB$，$BC$的垂直平分线的交点，可知$OA = OB = OC$，再利用三角形外角等于不相邻两内角的和计算。具体解题过程为：过点$O$作射线$BP$，因为线段$AB$，$BC$的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点$O$，所以$AO = OB = OC$，$\angle BDO = \angle BEO = 90^{\circ}$，进而得到$\angle DOE + \angle ABC = 180^{\circ}$，又因为$\angle DOE + \angle 1 = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC = \angle 1 = 39^{\circ}$。由于$OA = OB = OC$，则$\angle A = \angle ABO$，$\angle OBC = \angle C$，且$\angle AOP = \angle A + \angle ABO$，$\angle COP = \angle C + \angle OBC$，所以$\angle AOC = \angle AOP + \angle COP = 2\angle ABO + 2\angle OBC = 2\angle ABC = 2× 39^{\circ} = 78^{\circ}$。