《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

10. 已知$a + b = 2$，$ab = -24$。
（1）求$a^{2}+b^{2}$的值。
（2）求$(a + 1)(b + 1)$的值。
（3）求$(a - b)^{2}$的值。

答案： $10.(1)\because a+b=2,ab=-24,\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4+2×24=52.$
$(2)\because a+b=2,ab=-24,\therefore(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-24+2+1=-21.$
$(3)\because a+b=2,ab=-24,\therefore(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a+b)^{2}-4ab=4+4×24=100.$

11. 【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法。例如：教材在探究平方差公式时，利用了如图$①$的图形表示它的几何意义：阴影部分面积为$a^{2}-b^{2}$，也可转化成一个一边长为$(a + b)$，另一边长为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$，因此有$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
【类比探究】图$②$是一个长为$4b$，宽为$a$的长方形，用剪刀沿虚线将其平均分成四个相同的小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回形”正方形，如图$③$。
(1)观察图$③$，请你写出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$之间的等量关系：$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
【解决问题】
(2)若$x^{2}-1 = 5x$，直接写出代数式$x-\dfrac{1}{x}$的值，并求$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}$的值。
【拓展应用】
(3)已知$m$，$n$为实数，$(2m + 4n - 5)^{2}=9$，求$(m + 2n - 3)(m + 2n - 2)$的值。

图$①$
图$②$
图$③$

答案： $11.(1)(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab.$
$(2)\because x^{2}-1=5x,x\neq0,\therefore x-\frac{1}{x}=5，$
$\therefore(x+\frac{1}{x})^{2}=(x-\frac{1}{x})^{2}+4=25+4=29.$
(3)设a=m+2n-3,b=m+2n-2，则$a-b=-1,a+b=2m+4n-5\therefore(a+b)^{2}=(2m+4n-5)^{2}=9,(a-b)^{2}=1\therefore(m+2n-3)(m+2n-2)=ab=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}=\frac{9-1}{4}=2.$