《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

13. 如图，AB = CD，BF ⊥ AC，垂足为 F，DE ⊥ AC，垂足为 E，AE = CF.求证 BD 平分 EF.

答案： 13.
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
∵BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°.
　在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\begin{cases}AB=CD,\\AF=CE,\end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴DE=BF.
　在△DEO和△BFO中，$\begin{cases}∠EOD=∠FOB,\\∠DEO=∠BFO,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△DEO≌△BFO(AAS).
∴EO=FO.
∴BD平分EF.

14. 如图，在长方形 ABCD 中，∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = 90°，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F.求证 FD = FG.

答案： 14.连接EF.
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴△ABE≌△GBE,
∴AE=GE,∠A=∠BGE=90°.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE=GE.
∵∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°,
∴∠EGF=∠D=90°.
　在Rt△EGF和Rt△EDF中,GE=DE,EF=EF,
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL).
∴FD=FG.

15. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（2，2），点 A 在 x 轴正半轴上运动，点 B 在 y 轴上运动，且 PA = PB.
（1）如图①，若点 B 在 y 轴负半轴上运动.
①求证 PA ⊥ PB.
②若点 A 的坐标为（8，0），求点 B 的坐标.
（2）如图②，若点 B 在 y 轴正半轴上运动，直接写出 OA + OB 的值.

答案：
15.
(1)①如图①,过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N,设BP交x轴于点C.
　　　　　　　　
∵点P的坐标为(2,2)，
∴PN=PM=ON=OM=2.
　在Rt△PMA和Rt△PNB中,PM=PN,PA=PB,
∴Rt△PMA≌Rt△PNB(HL).
∴∠PBN=∠PAM.
∵∠PBN+∠OCB=90°,∠OCB=∠PCA,
∴∠PAM+∠PCA=90°.
∴∠APB=180°−(∠PAM+∠PCA)=90°.
∴PA⊥PB.
　②由①知,Rt△PMA≌Rt△PNB，
∴AM=BN.
∵点A的坐标为(8,0)，
∴OA=8,
设OB=x,则AM=BN=x+2.
∴OA=AM+OM=x+2+2=8,
∴x=4.
∴B(0,−4).
(2)如图②,过点P分别作PM⊥x轴,垂足为M,PN⊥y轴,垂足为N.
　　　　　　　
∵点P的坐标为(2,2)，
∴PN=PM=ON=OM=2.
在Rt△PMA和Rt△PNB中,PM=PN,PA=PB,
∴Rt△PMA≌Rt△PNB(HL),
∴AM=BN.
∴OA+OB=(OM+AM)+(ON−BN)=OM+ON=4.