《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，且 $AE \perp BD$ 交 $BD$ 的延长线于点 $E$. 求证 $BD = 2AE$.

答案： 11.延长AE交BC的延长线于点F.
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACF = ∠ACB = 90°，∠CBD + ∠CDB = 90°.
∵∠ADE = ∠CDB，
∴∠CBD + ∠ADE = 90°.
∵AE⊥BE，
∴∠BEA = ∠BEF = 90°.
∴∠CAF + ∠ADE = 90°.
∴∠CBD = ∠CAF.
∵BC = AC，
∴△CBD≌△CAF(ASA).
∴BD = AF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CBD.
∵BE = BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA).
∴AE = EF = $\frac{1}{2}$AF.
∴AE = $\frac{1}{2}$BD.
∴BD = 2AE.

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$，$E$，$F$ 分别在 $BC$，$AB$，$AC$ 上，且 $BD = CF$，$BE = CD$，$G$ 是 $EF$ 的中点. 求证 $DG \perp EF$.

答案： 12.提示：连接DE，DF，由△BDE≌△CFD得DE = DF.又G为EF的中点，得证.

13. 如图①，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是底边 $BC$ 上任一点，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$CH$ 是 $AB$ 边上的高.
（1）求证 $DE + DF = CH$.
（2）如图②，若点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上，其他条件不变，试直接写出 $DE$，$DF$，$CH$ 之间的关系式.
（3）如图③，若 $AC = BC$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，$PD \perp BC$，$PE \perp AB$，$PF \perp AC$，$AH \perp BC$，垂足分别为 $D$，$E$，$F$，$H$. 试证明 $PD + PE + PF = AH$.

答案： 13.
(1)连接AD.S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CH，
S△ABC = S△ABD + S△ACD = $\frac{1}{2}$AB·DE + $\frac{1}{2}$AC·DF.
∵AB = AC，
∴DE + DF = CH.
(2)DE = CH + DF.
(3)提示：面积法证明.