《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

21. 下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并解决后面的问题。
|2024年12月12日|阴转晴|
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|今天我有一个新发现，通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式 $x^{2} + (p + q)x + pq$ 的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为 $x^{2} + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$。例如：将二次三项式 $x^{2} + 7x + 10$ 因式分解，这个式子的二次项系数是 $1$，常数项 $10 = 2×5$，一次项系数 $7 = 2 + 5$，则 $x^{2} + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$，如图所示。||
(1) 分解因式 $x^{2} - 8x + 15$ 的结果是 (x-3)(x-5)。
(2) 若二次三项式 $x^{2} + ax - 8$ 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数 $a$ 的所有可能的值。

答案： 21.
(1)一次系数为：(-3)+(-5)=-8,则常数项为
(-3)×(-5)=15,
则$x^2-8x+15=(x-3)(x-5).$
(2)若$x^2+ax-8$可分解为两个一次因式的积，
则整数a的所有可能的值是：
-8+1=-7;-1+8=7;-2+4=2;-4+2=
-2,
即整数a的所有可能的值是：$\pm7,\pm2.$

22. 阅读下列材料。
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如 $x^{2} - 4y^{2} + 2x - 4y$，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$\begin{aligned}x^{2} - 4y^{2} + 2x - 4y&=(x^{2} - 4y^{2}) + (2x - 4y)·s·s分组\\&=(x - 2y)(x + 2y) + 2(x - 2y)·s·s组内分解因式\\&=(x - 2y)(x + 2y + 2)·s·s整体思想提公因式\end{aligned}$
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题。
(1) 分解因式：$9x^{2} - 9x + 3y - y^{2}$。
(2) 已知 $\triangle ABC$ 的三边 $a$，$b$，$c$ 满足 $a^{2} - b^{2} - ac + bc = 0$，判断 $\triangle ABC$ 的形状并说明理由。

答案： $22.(1)9x^2-9x+3y-y^2$
$=(9x^2-y^2)+(-9x+3y)$
=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)
=(3x-y)(3x+y-3).
$(2)\triangle ABC$为等腰三角形,理由如下：
$\because a^2-b^2-ac+bc=0,$
$\therefore(a+b)(a-b)-c(a-b)=0.$
$\therefore(a-b)(a+b-c)=0.$
$\therefore a-b=0$或a+b-c=0.
$\because \triangle ABC$三边a,b,c满足a+b-c＞0,
$\therefore a-b=0,$即a=b,
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.