《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

12. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, 点 $ D $ 为边 $ BC $ 上一点(点 $ D $ 不与点 $ B $，$ C $ 重合).
(1)尺规作图: 作直线 $ MN $，使得点 $ A $ 与点 $ D $ 关于直线 $ MN $ 对称, 直线 $ MN $ 交直线 $ AC $ 于点 $ M $，交直线 $ AB $ 于点 $ N $. (保留作图痕迹, 不要求写作法)
(2)在(1)的基础上, 连接 $ DM $，$ AD $，$ AD $ 交 $ MN $ 于点 $ P $. 若 $ AB + AC = 16 $，$ S_{\triangle ABC} = 24 $，当 $ MP = NP $ 时, 请求出点 $ D $ 到直线 $ AC $ 的距离.

答案：
12.
(1)如图,直线MN为所求.

(2)过点D分别作DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.

由对称可知MN⊥AD,已知MP=NP,则AM=AN,
∴∠PAM=∠PAN.
∴DE=DF.
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE,S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF,
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=$\frac{1}{2}$(AB + AC)·DF=$\frac{1}{2}$×16DF = 8DF.
∵S△ABC = 24,
∴8DF = 24,DF = 3.
∴点D到直线AC的距离为3.

13. (1)如图①, 在平面直角坐标系中, 定点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $，点 $ B $ 为 $ x $ 轴负半轴上一动点, 点 $ C $ 为 $ y $ 轴正半轴上一动点, 且保持 $ OB = OC $ 不变. 过点 $ B $ 作 $ AC $ 的垂线交 $ AC $ 于点 $ E $，交 $ y $ 轴于点 $ D $.
①求点 $ D $ 的坐标.
②如图②, 连接 $ OE $，在点 $ B $，$ C $ 运动的过程中, 求证 $ \angle OEC = 135^{\circ} $ 保持不变.
(2)如图③, 定点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $，点 $ P $ 为第三象限角平分线上一动点, 连接 $ AP $，将射线 $ AP $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 交 $ y $ 轴于点 $ Q $，连接 $ PQ $. 在点 $ P $ 运动的过程中, 当 $ \angle APQ = 45^{\circ} $ 时, 问: $ \angle OQA $ 的度数是否为定值? 若是, 请求其定值; 若不是, 请说明理由.

答案： 13.
(1)①(0,1)
②提示:过点O分别作OM⊥BE，垂足为M，ON⊥EA,垂足为N,可以用等面积法证明OM=ON,从而得∠OEA=∠OEB=45°，所以得∠OEC=135°保持不变.
(2)30°.提示:过点P作PG⊥PQ交x轴于点G，PM⊥x轴,垂足为M,PN⊥y轴,垂足为N,可证明△PMG≌△PNQ，从而PQ=PG,再证△PAG≌△PAQ,可得∠PAQ=∠PAG=30°,所以可得∠OQA=30°为定值.