《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

6. 如图，已知$A(1,2)$，$B(7,4)$，$M$，$N$是$x$轴上两动点（点$M$在点$N$左边），$MN = 3$，当$AM + MN + NB$最小时，求点$M$的坐标.

答案：
6.如图，作点 A 关于 x 轴的对称点$A^{\prime}$，作$BB^{\prime} // x$轴，使$BB^{\prime} = 3$，连接$A^{\prime}B^{\prime}$交 x 轴于点 M，

在 x 轴上截取$MN = 3$，连接 BN，AM，则此时的$AM＋MN＋NB$ 最小，$M(2,0)$.

7. 如图，$\angle MON = 60^{\circ}$，点$A$，$B$分别是射线$OM$，$ON$上的动点，连接$AB$，$\angle MAB$的平分线与$\angle NBA$的平分线交于点$P$.
(1) 当$OA = OB$时，求证$AP// OB$.
(2) 在点$A$，$B$运动的过程中，$\angle P$的大小是否发生改变？若不改变，请求出$\angle P$的度数；若改变，请说明理由.
(3) 连接$OP$，$C$是线段$OP$上的动点，$D$是线段$OA$上的动点，当$S_{\triangle OAB} = 12$，$OB = 6$时，求$AC + CD$的最小值.

答案：
7.
(1)$\angle PAB = \angle ABO = 60^{\circ},\therefore AP // OB$.
(2)$\angle P$的大小不变，$\angle P = 60^{\circ}$.理由略.
(3)如图，过点 A 作$AH \perp OB$，过点 P 作$PJ \perp AB$，$PK \perp OM$，$PI \perp ON$，垂足分别为 H，J，K，I.

$\because AP$平分$\angle MAB,PK \perp OM,PJ \perp AB$，
$\therefore PK = PJ$．
$\because BP$平分$\angle ABN,PJ \perp AB,PI \perp ON$，
$\therefore PJ = PI.\therefore PK = PI$．
$\therefore OP$平分$\angle MON$．
作点 D 关于 OP 的对称点$D^{\prime}$，连接$CD^{\prime}$．
$\because S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} · OB · AH$，
$\therefore 12 = \frac{1}{2} × 6 × AH,\therefore AH = 4$.
$\because CD = CD^{\prime}$，
$\therefore AC + CD = AC + CD^{\prime} \geqslant AH,\therefore AC + CD \geqslant 4$.
$\therefore AC + CD$ 的最小值为 4.