《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

23. 【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法。它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。
① 用配方法分解因式。
例 1 分解因式 $x^{2} + 4x - 5$。
解：$x^{2} + 4x - 5 = x^{2} + 4x + 2^{2} - 2^{2} - 5$
$=(x + 2)^{2} - 9$
$=(x + 2 + 3)(x + 2 - 3)$
$=(x + 5)(x - 1)$。
② 用配方法求值。
例 2 已知 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 5 = 0$，求 $x + y$ 的值。
解：原方程可化为：$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 4y + 4 = 0$，即 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$。
$\because (x - 1)^{2} \geq 0$，$(y + 2)^{2} \geq 0$，
$\therefore x = 1$，$y = - 2$。
$\therefore x + y = - 1$。
③ 用配方法确定范围。
例 3 $M = x^{2} - 2x - 1$，利用配方法求 $M$ 的最小值。
解：$M = x^{2} - 2x - 1 = x^{2} - 2x + 1 - 2 = (x - 1)^{2} - 2$。
$\because (x - 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore$ 当 $x = 1$ 时，$M$ 有最小值 $- 2$。
【解决问题】
(1) 用配方法分解因式 $a^{2} - 2a - 3$。
(2) 已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，且满足 $a^{2} + b^{2} - 8a - 10b + 41 = 0$，求边 $c$ 的取值范围。
(3) 已知 $P = 2m^{2} + 4n + 13$，$Q = m^{2} - n^{2} + 6m - 1$，试比较 $P$，$Q$ 的大小。

答案： $23.(1)a^2-2a-3$
$=a^2-2a+1-1-3$
$=(a-1)^2-4$
=(a-1+2)(a-1-2)
=(a+1)(a-3).
$(2)\because a^2+b^2-8a-10b+41=(a^2-8a+16)+$
$(b^2-10b+25)=(a-4)^2+(b-5)^2=0,$
$\therefore a-4=0,b-5=0.$
$\therefore a=4,b=5.$
$\therefore5-4＜c＜4+5.$
$\therefore$边c的取值范围为1＜c＜9.
$(3)P-Q=2m^2+4n+13-(m^2-n^2+6m-1)$
$=2m^2+4n+13-m^2+n^2-6m+1$
$=m^2-6m+9+n^2+4n+4+1$
$=(m-3)^2+(n+2)^2+1＞0,$
$\therefore P＞Q.$