《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

19. 如图，$D$，$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 边 $AB$，$BC$ 上的点，$AD = 2BD$，$BE = CE$，且 $AE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$。设 $\triangle ADF$ 的面积为 $S_1$，$\triangle CEF$ 的面积为 $S_2$，若 $S_{\triangle ABC} = 9$，求 $S_1 - S_2$ 的值。

答案： 19.
∵BE=CE,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC.
∵$S_{\triangle ABC}=9$,
∴$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×9 = 4.5$.
∵AD = 2BD,$S_{\triangle ABC}=9$,
∴$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}×9 = 3$.
∵$S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BCD}=(S_{\triangle ADF}+S_{四边形BEFD})-(S_{\triangle CEF}+S_{四边形BEFD})=S_{\triangle ADF}-S_{\triangle CEF}$，
∴$S_1 - S_2 = S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BCD}=4.5 - 3 = 1.5$.

20. 【问题背景】
(1) 如图①，我们把它称为“$8$ 字形”，请证明 $\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$。
【简单应用】
(2) 如图②，$AP$，$CP$ 分别平分 $\angle BAD$，$\angle BCD$，若 $\angle ABC = 36^{\circ}$，$\angle ADC = 16^{\circ}$，求 $\angle P$ 的度数。
【问题探究】
(3) 如图③，直线 $AP$ 平分 $\angle BAD$ 的邻补角 $\angle FAD$，$CP$ 平分 $\angle BCD$ 的邻补角 $\angle BCE$。若 $\angle ABC = 36^{\circ}$，$\angle ADC = 16^{\circ}$，请猜想 $\angle P$ 的度数，并说明理由。
【拓展延伸】
(4) 如图④，若设 $\angle C = \alpha$，$\angle B = \beta$，$\angle CAP = \frac{1}{3}\angle CAB$，$\angle CDP = \frac{1}{3}\angle CDB$，则 $\angle P$ 与 $\angle C$，$\angle B$ 之间的数量关系为∠P=$\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{3}\beta$（用 $\alpha$，$\beta$ 表示 $\angle P$，不必证明）。

答案：
20.
(1)在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°.
　在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)
∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
　由
(1)的结论得:
　$\begin{cases} ∠P+∠3=∠2+∠B, \\ ∠P+∠1=∠4+∠D, \end{cases}$
∴2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D.
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠D)=26°.
(3)如图，
　　　　　
∵直线AP平分∠BAD的邻补角∠FAD,CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠PAD=180°−∠2,∠PCD=180°−∠3.
∴∠P+(180°−∠2)=∠D+(180°−∠3).
∵∠P+∠1=∠B+∠4,
∴2∠P=∠B+∠D.
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠D)=$\frac{1}{2}$×(36°+16°)=26°.
(4)∠P=$\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{3}\beta$.