《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 2 问题引入：
(1)如图①，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A = α，则∠BOC = (用含α的式子表示)；如图②，∠CBO = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO = $\frac{1}{3}$∠ACB，∠A = α，则∠BOC = (用含α的式子表示)。
(2)如图③，∠CBO = $\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO = $\frac{1}{3}$∠ECB，∠A = α，请猜想∠BOC = (用含α的式子表示)，并说明理由。

类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO = $\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO = $\frac{1}{n}$∠ECB，∠A = α，请猜想∠BOC = 。
分析：运用三角形的内角和定理，猜想、推理。
解：(1)90° + $\frac{\alpha}{2}$；120° + $\frac{\alpha}{3}$。
(2)∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)
= 180° - $\frac{1}{3}$(∠DBC + ∠ECB) = 180° - $\frac{1}{3}$(180° + ∠A) = 120° - $\frac{\alpha}{3}$。
(3)∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)
= 180° - $\frac{1}{n}$(∠DBC + ∠ECB) = 180° - $\frac{1}{n}$(180° + ∠A)
= $\frac{n - 1}{n}$·180° - $\frac{\alpha}{n}$。

答案：
(1)
对于图①：
$\angle BOC = 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$
对于图②：
$\angle BOC = 120^{\circ}+\frac{\alpha}{3}$
(2)
$\angle BOC = 120^{\circ}-\frac{\alpha}{3}$
理由：
$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{3}(\angle DBC+\angle ECB)$
$=180^{\circ}-\frac{1}{3}(180^{\circ}+\angle A)$
$=120^{\circ}-\frac{\alpha}{3}$
(3)
$\angle BOC=\frac{n - 1}{n}·180^{\circ}-\frac{\alpha}{n}$