《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB＞BC$，点$D$在边$BC$上，$CD = 2BD$，点$E$，$F$在线段$AD$上，$\angle 1=\angle 2=\angle BAC$，若$\triangle ABC$的面积为$18$，则$\triangle ACF$与$\triangle BDE$的面积之和是(A)。

A.$6$
B.$8$
C.$9$
D.$12$

答案： 1.A
提示:
∵∠1 = ∠BAC，
∴∠ABE + ∠BAE = ∠BAE + ∠CAF。
∴∠ABE = ∠CAF。
又
∵∠1 = ∠2，
∴180° - ∠1 = 180° - ∠2。
∴∠BEA = ∠AFC。
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases}$
∠BEA = ∠AFC,\\
∠ABE = ∠CAF,\\
AB = CA,
$\end{cases}$
∴△ABE≌△CAF。
∴$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle CAF}。$
∴$S_{\triangle ACF} + S_{\triangle BDE} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BDE} = S_{\triangle ABD}。$
又
∵CD = 2BD，$S_{\triangle ABC} = 18，$
∴$BD = \frac{1}{3}BC。$
∴$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 6。$

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$m$上，且$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$，$BD = 3$，$CE = 6$，则$DE$的长度为9。

答案： 2.9
提示:
∵∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，
∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE，
∴∠DBA = ∠CAE。
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}$
∠ABD = ∠CAE,\\
∠BDA = ∠AEC,\\
AB = CA,
$\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)。
∴BD = AE，AD = CE。
∴DE = AE + AD = BD + CE = 3 + 6 = 9。

3. 【模型呈现】数学兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图(如图①，由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图②、图③)，即“一线三等角”模型。
【问题发现】(1)如图②，在$\triangle ABC$中，$CA = CB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，直线$l$过点$C$，过点$A$，$B$分别作$AE\perp l$，$BF\perp l$，垂足分别为$E$，$F$。求证$EF = AE + BF$。
(2)如图③，若改变直线$l$的位置，其余条件与(1)相同，请直接写出线段$EF$，$AE$，$BF$之间的数量关系。
【问题提出】(3)如图④，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC=\angle CAB=\angle ADC=45^{\circ}$，$\triangle ACD$的面积为$12$且$CD$的长为$6$，求$\triangle BCD$的面积。

答案：
3.
(1)由题意可得AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF = ∠BFE = 90°，∠EAC + ∠ECA = 90°。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ECA + ∠BCF = 90°，
∴∠BCF = ∠EAC。
在△AEC和△CFB中，
$\begin{cases}$
∠AEC = ∠BFC = 90°,\\
∠EAC = ∠BCF,\\
AC = BC,
$\end{cases}$
∴AE = CF，CE = BF。
∴EF = CE + CF = AE + BF。
(2)EF = BF - AE。
(3)如图，过点B作BE⊥CD交DC的延长线于点E，过点F作AF⊥CD，垂足为F。

由
(1)可得△BEC≌△CFA(AAS)，
∴BE = CF，CE = AF。
∵∠ADC = 45°，AF⊥CD，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF = DF。
∵△ACD面积为12，
∴$\frac{1}{2}CD·AF = 12。$
∵CD的长为6，
∴AF = 4。
∴BE = CF = 6 - DF = 6 - AF = 2。
∴$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}CD·BE = 6。$