《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的。用式子表示为：$(a + b)(a - b) =$。

答案： 平方差；$a^{2}-b^{2}$

例 如果一个大于$1$的正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就可以称为“智慧数”。例如：$5 = 3^{2}-2^{2}$，$7 = 4^{2}-3^{2}$，$8 = 3^{2}-1^{2}$，$16 = 5^{2}-3^{2}$，则$5$，$7$，$8$，$16$就是“智慧数”。请探究“智慧数”的特征，判定下列各数不是“智慧数”的是()。

A.$2024$
B.$2025$
C.$2026$
D.$2027$
分析：两个正整数可为两个正奇数或两个正偶数或一个正奇数和一个正偶数，逆用平方差公式来探究“智慧数”的奇偶特征。大于$1$的所有奇数都是“智慧数”；除$4$外，所有能被$4$整除的正偶数都是“智慧数”。
解：设$k$是正整数，
$\because(k + 1)^{2}-k^{2}=(k + 1 + k)(k + 1 - k)=2k + 1$，
$\therefore$除$1$外，所有正奇数都是“智慧数”，所以$B$，$D$选项都是“智慧数”，不符合题意。
$\because(k + 1)^{2}-(k - 1)^{2}=(k + 1 + k - 1)(k + 1 - k + 1)=4k$，
$\therefore$除$4$外，所有能被$4$整除的正偶数都是“智慧数”，所以$A$选项是“智慧数”，不符合题意。
$C$选项：$2026$不是奇数，也不是$4$的倍数，不是“智慧数”，符合题意。故选$C$。

答案： C

1. 下列计算中，不能用平方差公式计算的是(A)。

A.$(m - n)(-m + n)$
B.$(x^{3}-y^{3})(x^{3}+y^{3})$
C.$(-a - b)(a - b)$
D.$(c^{2}-d^{2})(d^{2}+c^{2})$

答案： 1.A