《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

例 如图，点 C 是线段 AB 上任意一点（点 C 与点 A，B 不重合），分别以 AC，BC 为边在直线 AB 同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE 与 CD 相交于点 M，连接 BD 与 CE 相交于点 N. 求证：
$（1）\triangle ACE \cong \triangle DCB.$
$（2）\triangle MNC $是等边三角形.
分析：等边三角形的三条边都相等，三个角都等于$ 60^{\circ}，$是证明线段相等和角相等的依据，进而可证明三角形全等；要证明三角形是等边三角形，就要依据等边三角形的判定方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是$ 60^{\circ} $的等腰三角形是等边三角形.
证明：$（1）\because \triangle ACD，$$\triangle BCE $是等边三角形，
$\therefore CA = CD, CE = CB, \angle ACD = \angle ECB = 60^{\circ}.$
$\therefore \angle ACE = \angle DCB = 120^{\circ}.$
在$ \triangle ACE $和$ \triangle DCB $中，
$\left\${
$\begin{array}{l}$
CA = CD, \\
$\angle ACE = \angle DCB, \\$
CE = CB,
$\end{array}$
$\right.$
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle DCB(SAS).$
（2）由（1）得$ \triangle ACE \cong \triangle DCB，$则有$ \angle CAM = \angle CDN.$
又$ \because \angle ACD = \angle ECB = 60^{\circ}，$
$\therefore \angle ECD = 60^{\circ}.\therefore \angle ACM = \angle DCN = 60^{\circ}.$
在$ \triangle ACM $和$ \triangle DCN $中，
$\left\${
$\begin{array}{l}$
$\angle CAM = \angle CDN, \\$
CA = CD, \\
$\angle ACM = \angle DCN,$
$\end{array}$
$\right.$
$\therefore \triangle ACM \cong \triangle DCN(ASA).$
$\therefore CM = CN.\therefore \triangle MNC $是等边三角形.

答案： （1）
∵△ACD，△BCE是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，∠DCB=∠ECB+∠DCE=60°+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}CA=CD\\ \angle ACE=\angle DCB\\ CE=CB\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
（2）由（1）得△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，AB为直线，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠ECB=60°，
∴∠ACM=∠DCN=60°，
在△ACM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle CAM=\angle CDN\\ CA=CD\\ \angle ACM=\angle DCN\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，
∵∠DCE=60°，
∴△MNC是等边三角形．