《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

13. 如图，$\triangle ABC$ 为等边三角形，经过点 $C$ 的直线 $a // AB$，$D$ 为直线 $BC$ 上任一动点. 将一 $60^{\circ}$ 角的顶点置于点 $D$ 处，它的一边始终经过点 $A$，另一边与直线 $a$ 交于点 $E$，与 $AC$ 交于点 $O$.
（1）如图①，若 $D$ 恰好在 $BC$ 的中点处，求证 $\triangle ADE$ 是等边三角形.
（2）如图②，若 $D$ 为直线 $BC$ 上任一点，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

答案：
13.
(1)
∵a//AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE = ∠BAC = ∠ABD = 60°，AB = AC.
∵BD = CD，
∴AD⊥BC.
∵∠ADE = 60°，
∴∠EDC = 30°.
∴∠DOC = 180° - ∠EDC - ∠ACB = 90°.
∴∠DEC = ∠DOC - ∠ACE = 30°.
∴∠EDC = ∠DEC.
∴EC = CD = DB.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD = AE.又
∵∠ADE = 60°，
∴△ADE是等边三角形.
(2)如图，在AC上取点F，使CF = CD，连接DF.

∵∠ACB = 60°，
∴△DCF是等边三角形.
∵∠ADF + ∠FDE = ∠EDC + ∠FDE = 60°，
∴∠ADF = ∠EDC.
∵∠DAF + ∠ADE = ∠DEC + ∠ACE，
∴∠DAF = ∠DEC.
∴△ADF≌△EDC(AAS).
∴AD = ED.
又
∵∠ADE = 60°，
∴△ADE是等边三角形.