《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

13. 【阅读材料】因式分解：$x^{2}+4xy + 4y^{2}-16$.
解：$\because x^{2}+4xy + 4y^{2}=(x + 2y)^{2}$，$\therefore$将$x + 2y$看成整体，令$x + 2y = M$，则原式$=M^{2}-16=(M + 4)(M - 4)$，将$M$还原，则原式$=(x + 2y + 4)(x + 2y - 4)$.
上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题.
【数学理解】（1）因式分解：$(a - 2b)^{2}-6(a - 2b)+9$.
【拓展探索】（2）证明：无论$a$，$b$取何值时，$(a^{2}b^{2}-4a)(a^{2}b^{2}-4a - 2)+1$的值一定是非负数.

答案： 13.
(1)将a−2b看成整体，
∴可设M=a−2b,
则$(a−2b)^2−6(a−2b)+9=M^2−6M+9=$
$(M−3)^2.$
将M还原,则原式$=(a−2b−3)^2,$
即$(a−2b)^2−6(a−2b)+9=(a−2b−3)^2.$
(2)将$a^2b^2−4a$看成整体，
∴可设$N=a^2b^2−4a,$则$(a^2b^2−4a)(a^2b^2−4a−2)+1$
=N(N−2)+1
$=N^2−2N+1$
$=(N−1)^2.$
将N还原,得$(a^2b^2−4a)(a^2b^2−4a−2)+1=(a^2b^2−4a−1)^2≥0,$
即无论a,b取何值时$,(a^2b^2−4a)(a^2b^2−4a−2)+1$的值一定是非负数.