《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

12. 如图，$D$ 为等边三角形 $ABC$ 外一点，且 $BD = CD$，$\angle BDC = 120^{\circ}$. 点 $M$，$N$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，且 $BM + CN = MN$.
（1）求证 $\angle MDN = 60^{\circ}$.
（2）求证 $BD + CD = AD$.

答案： 12.提示：
(1)延长AC至点E，使CE = BM，连接DE.
证明△DBM≌△DCE，再证明△DMN≌△DEN.
(2)提示：在△ABD中，∠ABD = 90°，∠BAD = 30°，将△ADC绕点A顺时针旋转60°至△APB，
则可得等边三角形APD，得证.

13. 已知 $D$，$E$ 分别是等边三角形 $ABC$ 的边 $BC$，$AB$ 上的点，$\angle ADE = 60^{\circ}$.
（1）如图①，当 $D$ 是 $BC$ 的中点时，求证 $AE = 3BE$.
（2）如图②，点 $M$ 在 $AC$ 上，满足 $\angle ADM = 60^{\circ}$，求证 $BE = CM$.
（3）如图③，作 $CF // AB$ 交 $ED$ 的延长线于点 $F$，探究线段 $BE$，$CF$，$CD$ 之间的数量关系，并给出证明.

答案： 13.
(1)提示：易得DE⊥AB，取AB的中点F，连接FD，则FD = $\frac{1}{2}$AB = DB，故FE = EB = $\frac{1}{2}$FB = $\frac{1}{2}$FA，得证.
(2)提示：过点A作DM，DE的垂线，垂足分别是H，G，证明△ADG≌△ADH，再证△AEG≌△AMH.
(3)延长CF至点N，使FN = BE，连接BN，EN.
∵CF//BE，
∴∠BEN = ∠ENF，∠BCF = ∠ABC = 60°.
又
∵EN = NE，
∴△BEN≌△FNE.
∴∠BNE = ∠FEN.
∴EF//BN.
∴∠CDF = ∠CBN.
又
∵∠ADE + ∠ADC + ∠CDF = 180°，∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180°，∠ADE = ∠ACB = 60°，
∴∠CDF = ∠CAD.
又
∵∠CDF = ∠CBN，
∴∠CAD = ∠CBN.
又
∵CA = CB，∠BCF = ∠ACB = 60°，
∴△ACD≌△BCN.
∴CD = CN = CF + BE.