《2025年课堂作业武汉出版社八年级数学上册人教版》

12. 观察下列各式：
$2^{2}-2^{1}=2 = 2^{1}$，
$2^{3}-2^{2}=4 = 2^{2}$，
$2^{4}-2^{3}=8 = 2^{3}$，
……
(1)观察上述等式并填空：$2^{2025}-2^{2024}=$$2^{2024}$。
(2)根据以上的观察、计算，你能发现什么规律？试写出第$n$个等式，并证明第$n$个等式成立。
(3)计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+·s+2^{100}$。

答案： $12.(1)2^{2024}$
(2)由题意知，第n个等式为$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}，$
∴$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}·2 - 2^{n}=2^{n}(2 - 1)=2^{n}.$
∴第n个等式$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$成立.
(3)由题意知，
$2^{1}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+···+2^{100}=2^{2}+2^{2}+2^{3}+···+$
$2^{100}=2^{3}+2^{3}+···+2^{100}=···=2^{100}+2^{100}=2×2^{100}=$
$2^{101}，$
∴$2^{1}+2^{2}+2^{3}+···+2^{100}=2^{101}-2.$

13. 阅读下列材料，回答问题。
下面是底数大于$1$的数比较大小的两种方法。
①比较$2^{a}$和$2^{b}$的大小。
当$a ＞ b$时，$2^{a}＞2^{b}$。
即当底数相同时，指数越大值越大。
②比较$3^{50}$和$2^{75}$的大小。
解：$\because 3^{50}=(3^{2})^{25}=9^{25}$，$2^{75}=(2^{3})^{25}=8^{25}$，$9 ＞ 8$，$\therefore 9^{25}＞8^{25}$。$\therefore 3^{50}＞2^{75}$。
即当指数相同时，底数越大值越大。
(1)比较$3^{20}$和$9^{15}$的大小。
(2)已知$a = 3^{44}$，$b = 4^{33}$，则$a$$＞$$b$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

答案： 13.
(1)
∵$9^{15}=(3^{2})^{15}=3^{30},30＞20，$
∴$3^{20}＜3^{30}.$
∴$3^{20}＜9^{15}.$
(2)
∵$a = 3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11},b = 4^{33}=(4^{3})^{11}=$
$64^{11}，$
∴$81^{11}＞64^{11}.$
即$3^{44}＞4^{33},$
∴a＞b,故答案为：＞.