《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,点$A(3,5)$到直线BC:$y = -2x + 3$的距离是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$。

答案： $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

13. (2025·双流)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(-\frac{5}{2},0)$,$B(\frac{5}{2},0)$,$C(-\frac{5}{2},6)$。给出如下定义：若点$P(x_0,y_0)先向上平移x_0$个单位长度(若$x_0 ＜ 0$,即向下平移$|x_0|$个单位长度),再向右平移$3个单位长度后的对应点Q在\triangle ABC$的内部或边上,则称点$P为\triangle ABC$的“平移关联点”。若直线$y = -x + 3上的一点P是\triangle ABC$的“平移关联点”,且$\triangle ABQ$是等腰三角形,则点$P$的坐标为$(-\frac{9}{2},\frac{15}{2})$ 或 $(-3,6)$。

答案： $(-\frac{9}{2},\frac{15}{2})$ 或 $(-3,6)$

14. (2025·成华)汽车出发前,油箱有油$51$升,匀速行驶$3$小时后,在加油站加油至$45$升。如图所示的图象表示汽车从出发后,油箱中剩余油量$y$(升)与行驶时间$t$(小时)之间的关系。
(1)求加油前剩余油量$y与行驶时间t$之间的函数关系式；
(2)汽车剩余油量为$8$升时汽车必须加油。若汽车均以$70$千米/时速度匀速行驶,加油站距目的地还有$280$千米,那么汽车要到达目的地,油箱中的油是否够用？请说明理由。

答案： [解]
(1)$\because$ 函数图象过点 $(0,51)$ 和 $(3,24)$，
$\therefore$ 可设函数关系式为 $y = kt + b$，
则 $\begin{cases}b = 51\\3k + b = 24\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -9\\b = 51\end{cases}$，
$\therefore$ 加油前剩余油量 $y$ 与行驶时间 $t$ 之间的函数关系式为 $y = -9t + 51$.
(2)油箱中的油够用. 理由如下:
$\because$ 汽车加油前行驶了 3 小时,行驶了 $3×70 = 210$ (千米),用去了 $51 - 24 = 27$ (升)油,
而目的地距加油站还有 280 千米,
$\therefore$ 要到达目的地还需 36 升油,而中途加油 21 升后有油 45 升,
即油箱中的剩余油量是 45 升,$45 - 36 = 9 ＞ 8$，
$\therefore$ 够用.
因此,汽车要到达目的地,油箱中的油够用.

15. (2024·成华)在同一平面直角坐标系中,我们规定点的两种移动方式：从点$(x,y)移动到点(x + 2,y + 1)$称为一次甲方式移动；从点$(x,y)移动到点(x + 1,y + 3)$称为一次乙方式移动。
(1)若原点$O$经过两次甲方式移动,得到点$M$；原点$O$经过两次乙方式移动,得到点$N$。设过点$M$,$N的直线为l_1$,求直线$l_1$的表达式。
(2)若原点$O连续移动10$次(每次按甲方式或乙方式移动),最终移动到点$Q$。试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动,最终点$Q$都落在一条确定的直线上,设这条直线为$l_2$,请求出直线$l_2$的表达式。
(3)将(2)中的直线$l_2向下平移30$个单位长度,得到直线$l_3$。分别在上述直线$l_1$,$l_2$,$l_3上取点A$,$B$,$C$,设点$A$,$B$,$C的横坐标分别为a$,$b$,$c$,且$a \neq b$,试探究：当$A$,$B$,$C$三点共线时,$a$,$b$,$c$之间有何数量关系？说明理由。

答案： [解]
(1)原点 $O$ 经过一次甲方式移动得到 $(2,1)$，$(2,1)$ 经过一次甲方式移动得到 $M(4,2)$; 原点 $O$ 经过一次乙方式移动得到 $(1,3)$，$(1,3)$ 经过一次乙方式移动得到 $N(2,6)$. 设直线 $MN$ 的表达式为 $y = kx + b(k\neq0)$，$\therefore\begin{cases}4k + b = 2\\2k + b = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -2\\b = 10\end{cases}$，$\therefore$ 直线 $l_{1}$ 的表达式为 $y = -2x + 10$.
(2)设原点 $O$ 按甲方式移动 $n$ 次,则按乙方式移动 $(10 - n)$ 次，$\therefore$ 原点 $O$ 按甲方式移动 $n$ 次后得到点 $(2n,n)$，点 $(2n,n)$ 按乙方式移动 $(10 - n)$ 次后得到点 $Q(n + 10,30 - 2n)$. 设 $x = n + 10$，$y = 30 - 2n$，$\therefore y = 30 - 2(x - 10) = -2x + 50$，$\therefore$ 无论每次按甲方式还是乙方式移动,最终点 $Q$ 都落在一条确定的直线上,直线 $l_{2}$ 的表达式为 $y = -2x + 50$.
(3)$b = 4c - 3a$. 理由如下: 直线 $l_{3}$ 的表达式为 $y = -2x + 20$. 由题可知 $A(a,-2a + 10)$，$B(b,-2b + 50)$，$C(c,-2c + 20)$. $\because A$，$B$，$C$ 三点共线，
$\therefore\frac{-2a + 2b - 40}{a - b}=\frac{-2a + 2c - 10}{a - c}$，整理得 $b = 4c - 3a$.