《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2024·青羊) 如图,在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle A = 45^\circ $,$ D $,$ E $ 两点分别是边 $ AC $,$ AB $ 上的动点,且 $ BE = 2AD $,将线段 $ DE $ 绕点 $ D $ 顺时针旋转 $ 45^\circ $ 得到线段 $ DF $,连接 $ BF $. 若 $ BC = 6 $,求 $ BF^2 $ 的最小值.

答案：
[解]如图，在CD上截取DM=AE，连接FM，CF，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵$∠ A = 45 ^ { \circ }$，$∠ EDF = 45 ^ { \circ }$，$∠ A + ∠ AED = ∠ EDM = ∠ EDF + ∠ MDF$，
∴$∠ AED = ∠ MDF$.
∵DF=ED，
∴△ADE≌△MFD(SAS)，
∴AD=FM，$∠ A = ∠ DMF = 45 ^ { \circ }$.
∵AB=AC，
∴AE+BE=AD+CD.
∵BE=2AD，
∴CD=AE+AD.
∵CD=DM+CM，
∴CM=AD，
∴FM=CM，
∴$∠ MCF = ∠ MFC$.
∵$∠ DMF = 45 ^ { \circ }$，
∴$∠ MCF = ∠ MFC = 22.5 ^ { \circ }$，
∴点F在射线CF上运动.
∵点B与点N关于CF对称，
∴BF=NF，CN=BC=6，
∴BF+FN=2BF≥BN，
∴当B，F，N三点共线时，BF+FN=2BF的值最小，最小值为BN.
∵$∠ A = 45 ^ { \circ }$，AB=AC，
∴$∠ ACB = 67.5 ^ { \circ }$，
∴$∠ BCF = ∠ ACB - ∠ MCF = 45 ^ { \circ }$.
由对称性可知，$∠ NCF = ∠ BCF = 45 ^ { \circ }$，
∴$∠ BCN = 90 ^ { \circ }$，
∴△BCN为等腰直角三角形，$BN ^ { 2 } = BC ^ { 2 } + CN ^ { 2 } = 72$，
∴$BF = \frac{1}{2}BN$，
∴$BF ^ { 2 } = \frac{1}{4}BN ^ { 2 } = 18$，
∴$BF ^ { 2 }$的最小值为18.