《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

1. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,我们说这两个代数式互为有理化因式。

答案： 二次根式

2. 分母有理化：把分母中的根号化去叫作分母有理化。

答案： 分母

3. 常见的有理化因式有$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$,$a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$与$a\sqrt{b}-c\sqrt{d}$,$\sqrt{a}$与$\sqrt{a}$。

答案： $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ $a\sqrt{b}-c\sqrt{d}$ $\sqrt{a}$

1. (2025·编写)填空：
(1)$\sqrt{14}$的有理化因式为$\sqrt{14}$；
(2)$\sqrt{x - 6}$的有理化因式为$\sqrt{x - 6}$；
(3)$\sqrt{7}-\sqrt{3}$的有理化因式为$\sqrt{7}+\sqrt{3}$；
(4)$\sqrt{3}+2$的有理化因式为$\sqrt{3}-2$。

答案：
(1) $\sqrt{14}$
(2) $\sqrt{x - 6}$
(3) $\sqrt{7}+\sqrt{3}$
(4) $\sqrt{3}-2$

2. (1)(2025·编写)化简：$\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=$$3\sqrt{2}$。
(2)(2025·编写)设$m = \sqrt{5}+1$,那么$m+\frac{1}{m}$的整数部分是3。

答案：
(1) $3\sqrt{2}$
(2) 3

3. (1)(2025·编写)计算$(\sqrt{50}-\sqrt{8})÷\sqrt{2}$的结果是3。
(2)(2025·编写)实数$2-\sqrt{3}$的倒数是$2+\sqrt{3}$。

答案：
(1) 3
(2) $2+\sqrt{3}$

4. (1)(2025·编写)解方程$\sqrt{5}x-\sqrt{3}= \sqrt{3}x+\sqrt{5}$,得$x= $$4+\sqrt{15}$。
(2)(2025·编写)计算：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\vert\frac{1}{2}-\pi^{0}\vert+\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}= $$1-\sqrt{3}$。

答案：
(1) $4+\sqrt{15}$
(2) $1-\sqrt{3}$

5. (2025·编写)式子$2-\sqrt{3}$的有理化因式是(C)
A.$2-\sqrt{3}$
B.$3-\sqrt{2}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-2$

答案： C

6. (2025·编写)$\sqrt{m - n}$的一个有理化因式是(B)
A.$\sqrt{m + n}$
B.$\sqrt{m - n}$
C.$\sqrt{m}+\sqrt{n}$
D.$\sqrt{m}-\sqrt{n}$

答案： B

7. (2025·编写)下列计算结果正确的是(C)
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}= 2$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= 3\sqrt{6}$

答案： C

8. (2025·编写)方程$(\sqrt{5}-1)x = 12$的解为D
A.$x = 3$
B.$x = 6$
C.$x = 2\sqrt{5}-1$
D.$x = 3\sqrt{5}+3$

答案： D

9. (2025·编写)计算：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$；
(2)$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$；
(3)$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2a}}$；
(4)$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$；
(5)$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$；
(6)$\frac{5 + 2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。

答案： 【解】
(1) $\frac{\sqrt{15}}{5}$
(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$
(3) $\frac{2\sqrt{a}}{a}$
(4) $2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
(5) $3+2\sqrt{2}$
(6) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$