《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (1)(2024·高新)计算：$\sqrt { 12 } ÷ \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } × \sqrt [ 3 ] { - 8 }$；
(2)(2024·天府新区)计算：$( \sqrt { 3 } + 2 ) × ( \sqrt { 3 } - 2 ) - ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$。
(3)(2025·编写)计算：$( \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) \cdot ( \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } )$。

答案：
(1)[解]原式 = $\sqrt{12÷3}$ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$×(-2) = 2 + $\sqrt{2}$
(2)[解]原式 = 3 - 4 - (1 + 2$\sqrt{2}$ + 2) = 3 - 4 - 1 - 2$\sqrt{2}$ - 2 = -4 - 2$\sqrt{2}$
(3)[解]原式 = [$\sqrt{7}$ + ($\sqrt{5}$ - $\sqrt{2}$)][$\sqrt{7}$ - ($\sqrt{5}$ - $\sqrt{2}$)]
= ($\sqrt{7}$)² - ($\sqrt{5}$ - $\sqrt{2}$)²
= 2$\sqrt{10}$

11. (2025·编写)计算：$( \sqrt { 3 } - 2 ) ^ { 2030 } × ( \sqrt { 3 } + 2 ) ^ { 2031 } = $$\sqrt{3}$ + 2。

答案： $\sqrt{3}$ + 2

12. (1)(2025·编写)化简：$\sqrt { 1 - 6 x + 9 x ^ { 2 } } + ( \sqrt { x - 2 } ) ^ { 2 } = $4x - 3。
(2)(2025·编写)如果$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } } = 2 - x$,那么$x$的取值范围是x≤2。

答案：
(1) 4x - 3
(2) x≤2

13. (1)(2025·编写)若$1 ＜ x ＜ 2$,则$| x - 3 | + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } }$的值为2。
(2)(2025·编写)若$\triangle A B C$的三边长分别为$a$,$b$,$c$,其中$a$和$b$满足$\sqrt { a - 2 } + b ^ { 2 } - 6 b = - 9$,则边长$c$的取值范围是1＜c＜5。

答案：
(1) 2
(2) 1＜c＜5

14. (2025·编写)若$a$,$b$是一等腰三角形的两边长,且满足等式$2 \sqrt { 3 a - 6 } + 3 \sqrt { 2 - a } = b - 4$,试求此等腰三角形的周长。

答案： [解]根据题意，得3a - 6≥0且2 - a≥0，
解得a≥2且a≤2，所以a = 2，b = 4。
①当a = 2是腰长时，三角形的三边长分别为2，2，4，因为2 + 2 = 4，所以不能组成三角形。
②当a = 2是底边长时，三角形的三边长分别为2，4，4，能组成三角形，
周长 = 2 + 4 + 4 = 10，所以此等腰三角形的周长为10。

15. (2024·成华)如图,$B D$是边长为6的等边$\triangle A B C$的高,$E为B D$上的动点,以$C E为边长在C E的右上方作等边\triangle E C F$,连接$D F$,求$\triangle C D F$周长的最小值。

答案：
[解]
∵△ABC是等边三角形，
∴AC = BC = 6，
∠ABC = ∠BCA = 60°。
∵∠ECF = 60°，
∴∠BCE = 60° - ∠ECA = ∠ACF。
∵CE = CF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴∠CAF = ∠CBE；
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，CD = $\frac{1}{2}$AC = 3。
如图，过点C作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH = CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG = 60°，CG = GH = $\frac{1}{2}$AC = 3。

∴CH = AC = 6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH = CD·tan60° = 3$\sqrt{3}$，AG垂直平分CH，
∴CI = HI，CF = FH，
∴CI + DI = HI + DI = DH = 3$\sqrt{3}$，CF + DF = FH + DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D，F，H三点共线时，CF + DF的值最小，为DH = 3$\sqrt{3}$，
∴△CDF周长的最小值为3 + 3$\sqrt{3}$